Limiet met oneindig in macht

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 12-11-'11, 18:11

patrick3004

Gebruikersavatar
Berichten: 50

Limiet met oneindig in macht

Afgesplitst vanuit dit topic.
RaYK schreef:maar wat doe ik dan in dit geval:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)
wortel(n) wordt oneindig, maar ik weet niet wat te doen met de teller, deze wordt 1 vermoed ik want mijn resultat zou 0 moeten zijn.. maarja, je bewerking aanpassen naar je eindresultaat is nu ook niet echt de goeie methode ;)
Euh ik zit echt met m'n handen in m'n haar bij een gelijkaardig probleem:

Afbeelding

Ik kom dus uit 1^oneindig ...
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 18:26

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Limiet met oneindig in macht

Is dit de letterlijke opgave? Want het nut van die 1 in de noemer ontgaat me eerlijk gezegd volledig.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 18:52

patrick3004

Gebruikersavatar
Berichten: 50

Re: Limiet met oneindig in macht

Nee die 1 is een foutje van mij ^^ Maar het verandert niets aan de opgave ...
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 19:05

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Limiet met oneindig in macht

Het beste wat je in dit geval kan doen is werken met het getal van Euler (volgens mij).

Je moet gebruiken dat:
\(x=e^{\ln(x)}\)
Begrijp je waarom dit (bovenstaande) zo is? Geraak je nu verder met de limiet?
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 19:32

patrick3004

Gebruikersavatar
Berichten: 50

Re: Limiet met oneindig in macht

Ik begrijp
\(x=e^{\ln(x)}\)
maar zie niet in hoe dit me helpt voor m'n limiet ...

Normaal gezien loste ik zo'n problemen op met l'Hospital maar die techniek werkt enkel bij 0/0 of ;) / :P ...
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 19:52

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Limiet met oneindig in macht

patrick3004 schreef:Ik begrijp
\(x=e^{\ln(x)}\)
maar zie niet in hoe dit me helpt voor m'n limiet ...

Normaal gezien loste ik zo'n problemen op met l'Hospital maar die techniek werkt enkel bij 0/0 of ;) / :P ...
L'Hopital kan misschien nog van pas komen, maar daartoe moeten we de limiet eerst herschrijven.

De limiet is:
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin(x))^{\tan^2(x)}\)
Pas eerst eens
\(x=e^{\ln(x)}\)
op
\((\sin(x))^{\tan^2(x)}\)
. Wat krijg je zo?

(Dit is een standaard methode om limieten van die onbepaaldheid op te lossen)
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 20:00

patrick3004

Gebruikersavatar
Berichten: 50

Re: Limiet met oneindig in macht

Sorry maar ik zie echt niet hoe dit Afbeelding me kan helpen :s

Ik voel me nu echt een debiel want als dit de standaardmethode is, heb ik niets begrepen ;)
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 20:20

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Limiet met oneindig in macht

patrick3004 schreef:Sorry maar ik zie echt niet hoe dit Afbeelding me kan helpen :s

Ik voel me nu echt een debiel want als dit de standaardmethode is, heb ik niets begrepen ;)
Zo kan het je inderdaad niet helpen, je moet de regel toepassen op héél de uitdrukking d.w.z:
\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}[\sin(x)]^{\tan^2(x)}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} e^{\ln[(\sin(x))^{\tan^2(x)}]}\)
Vermits de exponentiele functie een continue functie is mag je de limiet schrijven als:
\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} e^{\ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]}=e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]\)
Nu moet je dus nog alleen deze limiet bepalen:
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]\)
Gebruik hiervoor eerst een gekende eigenschap van logaritmen en probeer daarna de uitdrukking om te vormen tot je een onbepaaldheid krijgt waarbij je l'Hopital kan gebruiken.
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 20:21

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Limiet met oneindig in macht

Wat Siron bedoelt, is dat
\(\sin(x)^{\tan^2(x)} = e^{\ln(\sin(x)^{\tan^2(x)})} = e^{\tan^2(x) \ln(sin(x))}\)
.

Begrijp je deze stap? En zie je het nut?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 20:34

patrick3004

Gebruikersavatar
Berichten: 50

Re: Limiet met oneindig in macht

Komen we dan e;) *0 uit?
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 20:35

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Limiet met oneindig in macht

Ken je l'Hopital? Die helpt je bij zo'n onbepaaldheid.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 21:16

patrick3004

Gebruikersavatar
Berichten: 50

Re: Limiet met oneindig in macht

Ja maar we hebben hem enkel gebruikt bij 0/0 of ;) / :P .

Ik kan
\({\tan^2(x)}\)
herschrijven als 1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
).

1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
)=1/0

Als je deze 1/0 vermenigvuldigt met ln(sin(x)) geeft dit (1/0)*0 dus 0/0?

Mag je dan l'Hospital toepassen? Is mijn redenering juist?
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 22:04

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet met oneindig in macht

Er is een standaardlimiet:
\(\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1\)
Kan je daar naar toe werken ...

(Geen l'Hopital)

Als je wel 'Hopital wilt gebruiken dan ...

Vraag: kan je deze limiet bewijzen?
Omhoog

Bericht 12-11-'11, 23:40

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Limiet met oneindig in macht

patrick3004 schreef:Ja maar we hebben hem enkel gebruikt bij 0/0 of ;) / :P .

Ik kan
\({\tan^2(x)}\)
herschrijven als 1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
).

1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
)=1/0

Als je deze 1/0 vermenigvuldigt met ln(sin(x)) geeft dit (1/0)*0 dus 0/0?

Mag je dan l'Hospital toepassen? Is mijn redenering juist?
Persoonlijk zou ik
\(\tan^2(x)=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)
gebruiken om verder te gaan, nu krijg je wel een onbepaaldheid waar je l'Hopital kan gebruiken en dus kan je hier mee verder of als je zonder l'Hopital wilt werken moet je naar de post van Safe kijken ...

(Misschien handig om ze allebei eens uit te proberen).

Verder is het belangrijk dat je goed snapt welke stappen er allemaal genomen zijn. Limieten waarbij de onbepaaldheden van de types
\(0^0, 0^{\infty}, ...\)
voorkomen worden dikwijls op deze manier opgelost omdat de overgang op de e-macht ervoor zorgt dat we in de meeste gevallen l'Hopital gaan kunnen gebruiken.
Omhoog

Bericht 13-11-'11, 13:09

patrick3004

Gebruikersavatar
Berichten: 50

Re: Limiet met oneindig in macht

Mijn volledige oefening ;)

Ik heb in m'n uitleg
\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} e^{\ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]}=e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]\)
gebruikt die Siron me had gegeven. Ik begrijp deze stap echter niet :S
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”