Springen naar inhoud

Dimensie van isomorfe vectorruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 november 2011 - 22:47

In een bewijs kwam ik het volgende tegen:
Twee isomorfe vectorruimten hebben dezelfde dimensie.

Ik heb echter geen idee hoe dit te bewijzen. Iemand een hint?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 november 2011 - 22:57

Hoe kunnen ze anders isomorf zijn?

#3

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 november 2011 - 23:27

Ben je hier iets mee?

http://en.wikipedia....nullity_theorem

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 november 2011 - 00:34

Hoe kunnen ze anders isomorf zijn?

Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.

Je hebt twee pijlen te bewijzen. Stel dat ze van gelijke dimensie zijn. Kun je dan een isomorfisme 'verzinnen' dat werkt?

Verplaatst naar Lineaire Algebra.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 17 november 2011 - 10:32

Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.

Je hebt twee pijlen te bewijzen. Stel dat ze van gelijke dimensie zijn. Kun je dan een isomorfisme 'verzinnen' dat werkt?

Verplaatst naar Lineaire Algebra.

Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.


Dat werd door de TS niet gevraagd ...

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2011 - 13:08

Je kan bv. ook tonen dat een isomorfisme van V naar W een basis van V steeds omzet in een basis van W (dus lin. onafh. in V, wordt afgebeeld op lin. onafh. in W en een voortbrengend stel in V wordt afgebeeld op een voortbrengend stel in W). Het aantal elementen van een (en dus van 'elke') basis verandert niet, de dimensie dus ook niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 november 2011 - 14:41

Dat werd door de TS niet gevraagd ...

Je bedoelt dat TS enkel naar één richting vroeg (die waarvoor TD een schets heeft gegeven)? Dat klopt inderdaad ;). Het leek me gewoon nuttig om beiden in te zien. Niet als bezigheidstherapie maar omdat het vaak helpt voor het inzicht te scherpen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2011 - 22:39

Ik wil het op de manier van TD en Drieske allebei wel eens proberen.

Twee beweringen te bewijzen:
Als V en W isomorfe vectorruimten zijn dan hebben ze dezelfde dimensie. (1)
Als V en W dezelfde dimensie hebben dan zijn ze isomorf. (2)

Bewering (2)
Als V en W dezelfde dimensie hebben d.w.z ze evenveel basisvectoren hebben. Nu moet ik dus een lineaire afbeelding LaTeX die bijectief is zoeken. Stel dat LaTeX een basis is voor V en LaTeX een basis is voor W. Moet ik dan nu een lineaire afbeelding constueren waarbij elke basisvector uit W een origineel heeft in de basis van V? Of niet? Hoe pak ik dit het beste aan?

Veranderd door Siron, 17 november 2011 - 22:42


#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 november 2011 - 22:45

Bewering (2)
Als V en W dezelfde dimensie hebben d.w.z ze evenveel basisvectoren hebben. Nu moet ik dus een lineaire afbeelding LaTeX

die bijectief is zoeken. Stel dat LaTeX een basis is voor V en LaTeX een basis is voor W. Moet ik dan nu een lineaire afbeelding constueren waarbij elke basisvector uit W een origineel heeft in de basis van V? Of niet? Hoe pak ik dit het beste aan?

Ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat je een isomorfisme van V naar LaTeX kunt construeren? En idem voor W uiteraard.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2011 - 22:58

Ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat je een isomorfisme van V naar LaTeX

kunt construeren? En idem voor W uiteraard.


Waarom^de keuze LaTeX ? (dit doet me licht denken aan de kanonieke basis, of moeten we daar niet mee werken?). Ik zie niet direct hoe ik met deze gegevens verder ga, nog een hint zou welkom zijn :).

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 november 2011 - 23:04

Tja, LaTeX moet niet hoor. Het kan ook daar zonder (liever rechtstreeks? Zeg het dan nu, zou ik zeggen :)). Het is gewoon een makkelijke afbeelding. Een hint, zonder verklappen, moeilijk, maar een poging: op wat kun je LaTeX afbeelden in LaTeX ? Deze hint hier (hoe vaag ook), geldt btw ook mocht je toch verderwillen met de andere afbeelding.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 november 2011 - 16:52

Tja, LaTeX

moet niet hoor. Het kan ook daar zonder (liever rechtstreeks? Zeg het dan nu, zou ik zeggen :)). Het is gewoon een makkelijke afbeelding. Een hint, zonder verklappen, moeilijk, maar een poging: op wat kun je LaTeX afbeelden in LaTeX ? Deze hint hier (hoe vaag ook), geldt btw ook mocht je toch verderwillen met de andere afbeelding.


Ik geraak er nog steeds niet uit, kan je me nog verder helpen?

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 november 2011 - 16:57

Beschouw volgende afbeelding: LaTeX . Normaal geraak je er nu wel?

Als vraag aan jou: welke afbeelding, hierop geďnspireerd zou je kunnen gebruiken om rechtstreeks van V naar W te gaan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 november 2011 - 19:52

Beschouw volgende afbeelding: LaTeX

. Normaal geraak je er nu wel?

Als vraag aan jou: welke afbeelding, hierop geďnspireerd zou je kunnen gebruiken om rechtstreeks van V naar W te gaan?


Ik denk dat ik nu beter kan volgen welke lineaire afbeelding je hier bedoelt (vandaag een les gehad over matrixvoorstelling van lineaire afbeelding e.d)
Ik had gezegd, zij LaTeX een basis voor V en zij LaTeX een basis voor W.
(en LaTeX
Definieer:
LaTeX
Definieer:
LaTeX

Zou het nu handig zijn om LaTeX te schrijven als een samenstelling van de functies LaTeX ?

Veranderd door Siron, 21 november 2011 - 19:54


#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2011 - 20:22

Een beetje nodeloos ingewikkeld vind ik, maar voor daar verder op in te gaan: geraak je er met die afbeelding naar je veld K (tot de juiste macht)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures