Springen naar inhoud

Commuterende operatoren en eigenfuncties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2011 - 14:47

Hallo.

Ik ben bezig met quantumfysica, en het gaat over twee commuterende operatoren en hun eigenfuncties. Ze zeggen dat omdat de operatoren commuteren, ze dezelfde eigenfuncties moeten hebben, maar ik snap het niet helemaal.

Afleiding:

Stel LaTeX en LaTeX met A en B operatoren.

Dan geldt dus:
LaTeX ,
en dus LaTeX , dus LaTeX moet ook een eigenfunctie van A zijn.

Ik snap echter niet waarom hieruit zou volgen dat LaTeX ook een eigenfunctie van B zou zijn, kan iemand dat misschien anders uitleggen?

Alvast bedankt!
Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2011 - 20:02

Werk je hier in de veronderstelling van een niet-gedegenereerd spectrum? In dat geval zie je zelfs meer: niet alleen is B.psi ook een eigenfunctie van A, het heeft bovendien dezelfde eigenwaarde a. Dan is B.psi dus zelfs gelijk aan psi, of aan een veelvoud ervan. In elk geval is B.psi dan gelijk k.psi zodat psi ook een eigenfunctie is van B.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 november 2011 - 22:20

Verplaatst naar Analyse.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 november 2011 - 07:58

Werk je hier in de veronderstelling van een niet-gedegenereerd spectrum? In dat geval zie je zelfs meer: niet alleen is B.psi ook een eigenfunctie van A, het heeft bovendien dezelfde eigenwaarde a.

Kun je dit wat toelichten? (want ik zie het nog niet.)

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 november 2011 - 10:13

Mogelijk begrijp ik je vraag verkeerd, maar je hebt het volgende: LaTeX met a een eigenwaarde van A horende bij eigenvector LaTeX . Dan heb je dat LaTeX . Bovendien, omdat je operatoren commuteren, heb je LaTeX . Dus ook LaTeX is een eigenvector van A met dezelfde eigenwaarde als LaTeX .

Zie je het zo 'gebeuren', of sla ik open deuren in?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 november 2011 - 10:46

De vraag is hoe je gegeven:
LaTeX
en
LaTeX
kunt komen tot:
LaTeX

Ofwel dat uit het feit dat LaTeX een eigenfunctie van A is volgt dat LaTeX een eigenfunctie is van B. Dat LaTeX ook een eigenfunctie van A is, is geen antwoord op die vraag.

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 november 2011 - 10:57

Okee, afgaande op het stuk dat je van TD quotte, begreep ik dat je vraag was "waarom heeft B . psi eigenwaarde a".

Maar dan ivm waarom LaTeX . Dit volgt toch uit het feit dat je aanneemt dat elke eigenwaarde een (op veelvoud na) unieke eigenvector heeft (dus een niet-gedegenereerd spectrum)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 november 2011 - 19:58

Oké, als ik het goed begrijp zit het dus zo:

LaTeX

. Dit volgt toch uit het feit dat je aanneemt dat elke eigenwaarde een (op veelvoud na) unieke eigenvector heeft (dus een niet-gedegenereerd spectrum)?


Omdat ze dezelfde eigenwaarde a hebben, moeten LaTeX en LaTeX dan dezelfde vector zijn (op een veelvoud na), dus LaTeX .
Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

#9

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 november 2011 - 20:52

het feit dat je aanneemt dat elke eigenwaarde een (op veelvoud na) unieke eigenvector heeft (dus een niet-gedegenereerd spectrum)?



Ik heb er nog even over nagedacht en mijn aantekeningen over lineaire algebra er nog eens op nagekeken, maar dit is me toch nog niet helemaal duidelijk.

Het is logisch dat elke eigenvector één eigenwaarde heeft, er is immers maar 1 afbeelding die bij die vector hoort (en die is dus 'toevallig' een veelvoud van die eigenvector). Maar ik zie niet in waarom dat er geen 2 verschillende vectoren kunnen zijn waarvoor geldt dat (bijv.) Ax = 2x, oftewel 2 verschillende vectoren die op 2 keer zichzelf worden afgebeeld.

Dat dit kan weet ik, neem bijv. de afbeelding A=2I.

Mijn vraag is dus eigenlijk, waarom heeft iedere eigenwaarde één unieke eigenvector/functie (hetzelfde in principe, toch?).
Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 november 2011 - 10:48

Mijn vraag is dus eigenlijk, waarom heeft iedere eigenwaarde één unieke eigenvector/functie (hetzelfde in principe, toch?).

Dat is niet zo; lineair onafhankelijke eigenvectoren kunnen dezelfde eigenwaarde hebben. Men spreekt (in deze context) dan van een gedegenereerd spectrum en vaak wordt gewerkt met een niet-gedegenereerd spectrum; vandaar mijn vraag of dat in jouw geval verondersteld werd. Indien niet, dan volstaat de afleiding in je eerste bericht ook niet om te tonen dat commuterende operatoren gemeenschappelijke eigenfuncties hebben.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 november 2011 - 11:06

Indien niet

Dat geldt volgens mij binnen de QM niet in zijn algemeenheid, je mag dus niet aannemen dat je te maken hebt met een niet-gedegenereerd spectrum.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 november 2011 - 11:24

Uiteraard bestaan er gedegenereerde spectra, maar soms beperkt men zich tot het geval van niet-gedegenereerde spectra - het was dan ook mijn (oorspronkelijke) vraag of dat hier het geval was. De 'afleiding' die Emveedee gaf lijkt daar immers op te wijzen want die lijkt me niet voldoende voor het algemene geval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures