Commuterende operatoren en eigenfuncties

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 703

Commuterende operatoren en eigenfuncties

Hallo.

Ik ben bezig met quantumfysica, en het gaat over twee commuterende operatoren en hun eigenfuncties. Ze zeggen dat omdat de operatoren commuteren, ze dezelfde eigenfuncties moeten hebben, maar ik snap het niet helemaal.

Afleiding:

Stel
\(A \psi = a \psi\)
en
\([A, B] = 0\)
met A en B operatoren.

Dan geldt dus:
\([A, B]\psi = (AB - BA) \psi = A(B\psi) - B(A\psi) = A(B\psi) - B(a \psi) = A(B\psi) - a(B\psi) = 0\)
,

en dus
\(A(B\psi)=a(B\psi)\)
, dus
\(B \psi\)
moet ook een eigenfunctie van A zijn.

Ik snap echter niet waarom hieruit zou volgen dat
\(\psi\)
ook een eigenfunctie van B zou zijn, kan iemand dat misschien anders uitleggen?

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Werk je hier in de veronderstelling van een niet-gedegenereerd spectrum? In dat geval zie je zelfs meer: niet alleen is B.psi ook een eigenfunctie van A, het heeft bovendien dezelfde eigenwaarde a. Dan is B.psi dus zelfs gelijk aan psi, of aan een veelvoud ervan. In elk geval is B.psi dan gelijk k.psi zodat psi ook een eigenfunctie is van B.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Verplaatst naar Analyse.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 7.068

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Werk je hier in de veronderstelling van een niet-gedegenereerd spectrum? In dat geval zie je zelfs meer: niet alleen is B.psi ook een eigenfunctie van A, het heeft bovendien dezelfde eigenwaarde a.
Kun je dit wat toelichten? (want ik zie het nog niet.)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Mogelijk begrijp ik je vraag verkeerd, maar je hebt het volgende:
\(A \psi = a \psi\)
met a een eigenwaarde van A horende bij eigenvector \(\psi\). Dan heb je dat
\(BA \psi = a B \psi\)
. Bovendien, omdat je operatoren commuteren, heb je
\(AB \psi = a B \psi\)
. Dus ook
\(B \psi\)
is een eigenvector van A met dezelfde eigenwaarde als
\(\psi\)
.

Zie je het zo 'gebeuren', of sla ik open deuren in?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 7.068

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

De vraag is hoe je gegeven:
\(A \psi = a \psi\)
en
\([A,B] = 0\)
kunt komen tot:
\(B \psi = b \psi\)


Ofwel dat uit het feit dat \(\psi\) een eigenfunctie van A is volgt dat \(\psi\) een eigenfunctie is van B. Dat \(B \psi\) ook een eigenfunctie van A is, is geen antwoord op die vraag.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Okee, afgaande op het stuk dat je van TD quotte, begreep ik dat je vraag was "waarom heeft B . psi eigenwaarde a".

Maar dan ivm waarom
\(B \psi = b \psi\)
. Dit volgt toch uit het feit dat je aanneemt dat elke eigenwaarde een (op veelvoud na) unieke eigenvector heeft (dus een niet-gedegenereerd spectrum)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 703

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Oké, als ik het goed begrijp zit het dus zo:
\(A \psi = a \psi\)
. Dit volgt toch uit het feit dat je aanneemt dat elke eigenwaarde een (op veelvoud na) unieke eigenvector heeft (dus een niet-gedegenereerd spectrum)?
Omdat ze dezelfde eigenwaarde a hebben, moeten
\(\psi\)
en
\(B \psi\)
dan dezelfde vector zijn (op een veelvoud na), dus
\(b \psi = B \psi\)
.

Berichten: 703

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

het feit dat je aanneemt dat elke eigenwaarde een (op veelvoud na) unieke eigenvector heeft (dus een niet-gedegenereerd spectrum)?
Ik heb er nog even over nagedacht en mijn aantekeningen over lineaire algebra er nog eens op nagekeken, maar dit is me toch nog niet helemaal duidelijk.

Het is logisch dat elke eigenvector één eigenwaarde heeft, er is immers maar 1 afbeelding die bij die vector hoort (en die is dus 'toevallig' een veelvoud van die eigenvector). Maar ik zie niet in waarom dat er geen 2 verschillende vectoren kunnen zijn waarvoor geldt dat (bijv.) Ax = 2x, oftewel 2 verschillende vectoren die op 2 keer zichzelf worden afgebeeld.

Dat dit kan weet ik, neem bijv. de afbeelding A=2I.

Mijn vraag is dus eigenlijk, waarom heeft iedere eigenwaarde één unieke eigenvector/functie (hetzelfde in principe, toch?).

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Mijn vraag is dus eigenlijk, waarom heeft iedere eigenwaarde één unieke eigenvector/functie (hetzelfde in principe, toch?).
Dat is niet zo; lineair onafhankelijke eigenvectoren kunnen dezelfde eigenwaarde hebben. Men spreekt (in deze context) dan van een gedegenereerd spectrum en vaak wordt gewerkt met een niet-gedegenereerd spectrum; vandaar mijn vraag of dat in jouw geval verondersteld werd. Indien niet, dan volstaat de afleiding in je eerste bericht ook niet om te tonen dat commuterende operatoren gemeenschappelijke eigenfuncties hebben.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 7.068

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Indien niet
Dat geldt volgens mij binnen de QM niet in zijn algemeenheid, je mag dus niet aannemen dat je te maken hebt met een niet-gedegenereerd spectrum.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Commuterende operatoren en eigenfuncties

Uiteraard bestaan er gedegenereerde spectra, maar soms beperkt men zich tot het geval van niet-gedegenereerde spectra - het was dan ook mijn (oorspronkelijke) vraag of dat hier het geval was. De 'afleiding' die Emveedee gaf lijkt daar immers op te wijzen want die lijkt me niet voldoende voor het algemene geval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer