Springen naar inhoud

Functoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 november 2011 - 05:33

…ťn van mijn huiswerkopgaven luidt:

"Geeft het vormen van de automorfismengroep LaTeX van een groep LaTeX op natuurlijk wijze aanleiding tot een functor LaTeX ?"

Mijn intuÔtie zegt me dat dit duidelijk niet het geval is, maar dat krijg ik voor geen meter bewezen. Heeft iemand een duwtje in de goede richting paraat?
Waarom?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 november 2011 - 11:16

Verplaatst naar Algebra.

Waarom zegt je intuÔtie van niet?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 november 2011 - 18:05

Om deze afbeelding uit te breiden tot een functor, moeten zijn werking op de morfismen van LaTeX , de groepshomomorfismen, gedefinieerd worden: Elk homomorfisme LaTeX moet met een homomorfisme van automorfismegroepen LaTeX geassocieerd worden.
De meest voor de hand liggende oplossing zou de conjugatie van automorfismen met LaTeX zijn, maar dit is enkel mogelijk in het geval dat LaTeX een bijectie is, en dan is de afbeelding LaTeX ook triviaal. Ik zie niet hoe een homomorfisme LaTeX op natuurlijke wijze elk automorfisme LaTeX naar een automorfisme LaTeX kan sturen.
Het probleem is dat ik niet heel handig (meer) ben ik de groepentheorie, het liefst had ik een tweetal groepen LaTeX en LaTeX zodanig dat LaTeX in LaTeX ingebed kan worden, terwijl LaTeX in LaTeX ingebed kan worden. Zo gauw kan ik er geen verzinnen, maar ik vermoed dat zulke groepen wel bestaan.
Waarom?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 november 2011 - 22:22

Je conclusie klopt alleszins al (er bestaat geen zo'n functor). Vaag omschreven, is de reden hiervoor dat een homomorfisme G :) H een homomorfisme Aut(G) :) Aut(H) induceert. Een concreet voorbeeld zal ik eens over denken :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 november 2011 - 00:24

Gelukkig doet mijn intuÔtie het nog. Je uitleg is mij iets te vaag; als een homomorfisme LaTeX een homomorfisme LaTeX induceert, sluit dit toch zeker niet uit dat dit 'induceren' functorieel is? Ik ben overigens niet bekend met dit geÔnduceerde homomorfisme, misschien begrijp ik het daarom niet.

Na enig nadenken heb ik overigens een nogal omslachtig verhaal bedacht, dat nog steeds verre van een sluitend bewijs is:
Laat LaTeX een functor. Laat LaTeX de deelcategorie van LaTeX van groepen die geen uitwendige automorfismen hebben. Equivalent; de categorie van groepen LaTeX waarvoor geldt LaTeX , met LaTeX het centrum van LaTeX . Het is niet lastig te bewijzen dat het nemen van het centrum gťťn aanleiding geeft tot een functor op LaTeX ; kijk bijvoorbeeld naar de inclusies LaTeX en LaTeX .

De crux loopt nog niet zo lekker, ik weet helaas bijzonder weinig over categoriŽn en functoren:
IntuÔtief (ja, alweer) kan het niet zo zijn dat het nemen van LaTeX niet functorieel is, maar het nemen van LaTeX dat wel is.

Dan is het bewijs gemakkelijk af gemaakt:
Omdat de restrictie van LaTeX tot LaTeX geen functor is, is LaTeX zelf geen functor.
Waarom?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 november 2011 - 00:29

Ik ga morgen uitgebreid op je verhaal in. Maar ik wil alvast opmerken dat ik een typfout had. '... een homomorfisme induceert' moest zijn '... geen homomorfisme induceert'. Sorry daarvoor.

Dus

Je conclusie klopt alleszins al (er bestaat geen zo'n functor). Vaag omschreven, is de reden hiervoor dat een homomorfisme G :) H geen homomorfisme Aut(G) :) Aut(H) induceert. Een concreet voorbeeld zal ik eens over denken :).

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Pelle Almqvist

    Pelle Almqvist


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 november 2011 - 00:31

Ah, dat verklaart. Je claim is echter vrijwel equivalent met het gestelde probleem, zo lijkt het.
Maar goed, de komende paar dagen ben ik eventjes druk met de nodige andere opdrachten, maar ik wacht in spanning op je verdere verklaring.
Waarom?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures