Som herleiden na logaritmisch afleiden

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 14

Som herleiden na logaritmisch afleiden

Ik loop momenteel stuk op de volgende huiswerkopgave, kan iemand me helpen? Het betreft de onderstaande som:
\(y=\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)
-> ln gebruiken om de machten te verwijderen geeft:
\(\ln y = (2x+1) . \ln\frac{1}{x}\)
-> Afleiden geeft:
\(\frac{1}{y}.y' = 2\ln\frac{1}{x}+(2x+1).[\ln\frac{1}{x}]' = 2\ln\frac{1}{x}+(2x+1).-x^{-1} \)


(Immers,
\([\ln\frac{1}{x}]'=\frac{1}{\frac{1}{x}}.-x^{-2}=-x^{-1}\)
)

-> Herleiden geeft:
\(y'=\frac{1}{x}^{(2x+1)}.2\ln\frac{1}{x}-2-x^{-1} = \frac{1}{x}^{(2x+1)}.2\ln\frac{1}{x}-\frac{2x-1}{x}\)
Dat was in ieder geval wat ik dacht, toch lijkt het antwoord niet bepaald op dat uit mijn antwoorden model. Kan iemand aangeven waar ik verkeerd zit? :)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Som herleiden na logaritmisch afleiden

Vertrek eens van:
\(y=\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)
\(\Leftrightarrow y=e^{\ln\left[\frac{1}{x}^{(2x+1)}\right]}\)
(begrijp je deze stap?)

Bepaal nu eens de afgeleide.

Berichten: 14

Re: Som herleiden na logaritmisch afleiden

Ik begrijp die stap (de mathematische logica ervan dan, ik begrijp niet hoe het er op deze manier eenvoudiger van wordt).

Als ik het goed begrijp bepaal je de afgeleide nu (weer) met behulp van de kettingregel, dit is volgens mij:
\(e.[\ln^{\frac{1}{x}^{(2x+1)}}]'\)


Maar dat brengt mij toch weer bij een soortgelijke som als in het begin?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Som herleiden na logaritmisch afleiden

\(y'=\frac{1}{x}^{(2x+1)}.2\ln\frac{1}{x}-2-x^{-1} = \frac{1}{x}^{(2x+1)}(2\ln\frac{1}{x}-\frac{2x-1}{x})\)
Je vergat dus haakjes ...

Wat kan je schrijven voor:
\(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\)
Waarom laat je
\(\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)
staan?

Berichten: 14

Re: Som herleiden na logaritmisch afleiden

Safe schreef:Je vergat dus haakjes ...

Wat kan je schrijven voor:
\(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\)
Waarom laat je
\(\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)
staan?
Ah ik vat hem!
\(\ln\left(\frac{1}{x}\right) = \ln\left(x^{-1}\right) = -\ln\left(x\right)\)
Ik had
\(\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)
laten staan omdat ik zag dat ik al fout zout met minnen, maar de oorzaak daarvan heb ik nu dus gevonden.

Bedankt!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Som herleiden na logaritmisch afleiden

Ok, maar je had de functie:
\(y=x^{-(2x+1)}\)


kunnen afleiden naar x ...

Het is maar wat je het eenvoudigst vindt.

Reageer