Springen naar inhoud

Aantonen van unitaire afbeelding


  • Log in om te kunnen reageren

#1

AronKamp

    AronKamp


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 november 2011 - 22:18

Wij moeten voor een opgave iets inleven geef dus aub geen uitgewerkte antwoorden omdat dit niet eerlijk zou zijn tegen over de andere studenten. Maar een hint in de juiste richting zou heel erg fijn zijn!

Wij moeten de onderstaande opdracht maken:

"W=Mat(2x2,C) is de vectorruimte van complexe 2 x 2-matrices met inwendig product <A,B>=tr(A*B). U is de matrix {{0,i},{i,0}}. Verder is de lineaire afbeelding L:W->W gegeven door L(A)=AU.

Toon aan dat L een unitaire afbeelding is."

We hebben twee ideeen, idee is aannemelijk maar lijkt ons veel te makkelijk en gaat alleen over de matrix en niet over de lineaire afbeelding, maar bij idee twee moeten we er na een tijdje van uitgaan dat de matrix A die we niet weten (en volgens ons alles binnen W kan zijn) orthogonaal is en dat dus geldt dat A*A=I.

We hebben hier wel een redeneering voor maar ik heb geen idee of deze klopt: Misschien is het zo dat A altijd orthogonaal is omdat geldt dat A in W zit en dus altijd een complexe 2 x2 matrix is. en omdat het inwendig product van <A,B>=tr(A*B) moet alles binnen W dus wel orthogonaal zijn. (klopt dit?)

Idee 1:
Omdat de afbeelding L(A)=AU eigenlijk een matrix vermenigvuldiging is, kan je ook aantonen dat deze afbeelding unitair is door aan te tonen dat U unitair is. Dat geldt als U*U=I, dus LaTeX en dat geeft gelijk I dus is U unitair en dus ook de afbeelding.

Idee 2:
Tr{(AL)*BL}=tr{A*B}
L=AU
tr{(AAU)*BAU}=tr{A*B}
tr{A*AU*UA*B)=tr{A*B}
Omdat we weten dat U orthogonaal is kunnen we zeggen dat U*U=I (uit idee 1), maar is er een manier om te zeggen dat A*A=I? Als dit zo is kunnen we zeggen dat:
tr{IIA*B}=tr{A*B}
tr{I}=1 dus dit klopt.

Zou iemand willen kijken of wij ten onrechte twijfelen of A*A=I, als dit zo is dan hebben wij het antwoord al, zo niet hebben we geen idee hoe we dit moeten oplossen.

Alvast heel erg bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 november 2011 - 22:27

Wat is jouw definitie van een unitaire afbeelding?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

AronKamp

    AronKamp


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 november 2011 - 22:39

Volgens de definitie die wij hebben gekregen is A een unitaire operator als geldt:

<Af,Ag>=<f,g> dus dat alle verhoudingen behouden blijven.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 november 2011 - 22:42

Dus eigenlijk dat de matrix, die je afbeelding bepaalt, unitair is :). Met andere woorden: om te bepalen dat je afbeelding unitair is, volstaat het te tonen dat je matrix U unitair is.

Maar natuurlijk is het essentiŽle: zie je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

AronKamp

    AronKamp


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 november 2011 - 23:09

bedankt voor het snelle antwoord,

Dit hadden we wel opgeschreven maar dit leek ons te makkelijk, maar als jullie het ook zeggen dan moet het bijna wel kloppen heel erg bedankt voor de snelle reactie!!!!

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 november 2011 - 23:14

Geen probleem. Je kunt bijv eens hier (pg. 32) kijken ter extra bevestiging.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

AronKamp

    AronKamp


  • >100 berichten
  • 101 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 november 2011 - 23:24

We hebben hem nu toch ook op manier 2 kunnen aantonen door:

<L(A),L(B)>=tr[A*U*BU]=tr[A*B]

omdat U*U=I doordat U unitair is.

We hebben het nu op twee manieren laten zien maar heel erg bedankt voor de hulp!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures