Matrix met nulblokken op diagonaal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 03-12-'11, 13:14

Nesta

Berichten: 112

Matrix met nulblokken op diagonaal

Afgesplitst vanuit dit topic.

Wat een super antwoord! Je kunt natuurlijk de inverse van A berekenen, en daarmee A zelf, staat ook gewoon in mn boek inderdaad :) dankjewel!

ik heb nog zo'n leuke vraag waarmee ik vast loop:

M=

O B

A O

dus O is de nul matrix, A en B zijn kxk matrixen.

bewijs dat:

det(M) = (-1)^k det(A)det(b)

ik dacht zelf: det(M) = O*O - A*B = -AB

det(det(M)) = det(-AB)

det(M) = -det(A)det(B)

dat lijkt er al wel op, ik snap dus alleen die (-1)^k niet...
Omhoog

Bericht 03-12-'11, 16:29

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Wat is
\(det(-I_n)\)
?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 03-12-'11, 20:10

Nesta

Berichten: 112

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Ach ja! Dat is (-1)^n.

Maar hoe zeg ik dat dan in mijn bewijs?

Want je hebt dus:

det(M) = -AB

Er staat -1 en geen I, of mag ik dat er gewoon van maken? Ja waarschijnlijk wel omdat I gewoon 1 is.

Dus dan krijg je:

det(det(M)) = det(-IAB)

det(M) = det(-I)det(A)det(B)

det(M) = (-1)^k det(A)det(B)
Omhoog

Bericht 03-12-'11, 20:18

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Je moet nog eens goed kijken naar wat je doet, want jij zegt: det(M) = -AB. Dat klopt natuurlijk niet. Stel even dat O, A en B allemaal (2 x 2)-blokken zijn. Dan heb je links een getal staan (det(M)) en rechts een (2 x 2)-matrix (-AB)...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 03-12-'11, 21:54

Nesta

Berichten: 112

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Oh ja dat kan natuurlijk niet..

moet het dan misschien zijn:

det(M) = det(O)det(O) - det(A)det(B) ?
Omhoog

Bericht 03-12-'11, 21:59

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Stél dat het dat zou zijn: dan moet je dat kunnen bewijzen, lijkt me. Immers vormt dat de clue. Maar het is nog niet volledig juist. Je bent wel heel warm :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 03-12-'11, 22:06

Nesta

Berichten: 112

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Zou je misschien een hint willen geven want ik loop echt vast nu :)
Omhoog

Bericht 03-12-'11, 22:09

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Ik zal het algemener formuleren: Als
\(M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}\)
en alle blokken hebben dezelfde orde (n), dan geldt
\(det(M) = det(AD - BC)\)
.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-12-'11, 10:05

Nesta

Berichten: 112

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Dus dan krijg je:

det(M) = det(OxO-AxB) = det(-AB) = det(-IAB) = det(-I)det(A)det(B) = (-1)^n det(A)det(B) ?
Omhoog

Bericht 04-12-'11, 10:28

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Ja. Maar als je een niet gekende formule gebruikt, moet je de validiteit ervan wel nagaan. Immers, met jouw formule was het eindresultaat identiek, maar toch klopt ze niet. Zou je dit dus kunnen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-12-'11, 20:53

Nesta

Berichten: 112

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Ik zou niet weten hoe dat moet, ik heb geprobeerd M algemeen op te schrijven en dan de determinant uit te drukken in a en b, maar daarmee lukte het niet.

Is dit wel de manier, ik neem aan dat ik niet gewoon een voorbeeldje mag geven...
Omhoog

Bericht 04-12-'11, 22:35

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Spelen met matrices is de basisregel. Je weet dat CD = DC (want ze commuteren), dus:
\(\begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}D & O \\ -C & I_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}AD - BC & B \\ CD - DC & D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}AD - BC & B \\ O & D\end{pmatrix}\)
.

Kun je hiermee eruit geraken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-12-'11, 23:40

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Matrix met nulblokken op diagonaal

Wat ik nog was vergeten te melden, maar mij evident lijkt: ik laat in deze berekening valkuilen als 'det(M)=0' achterwege. Ook daar bestaat een oplossing voor. Maar best eerst het basic geval begrijpen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”