Springen naar inhoud

Convolution integral


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2011 - 12:25

Goedendag,

De volgende stelling staat in mijn boek:

If LaTeX and LaTeX both exist for s > a LaTeX 0, then
LaTeX , s > a,
where
LaTeX

Ik vraag mij nu af hoe je deze laatste regel bewijst.

Ik neem als substitutie in de linker integraal:
LaTeX

En krijg dan voor de eerste integraal:

LaTeX

Kan ik nu zeggen:
LaTeX ?
Dit geldt volgens mij alleen wanneer LaTeX , maar is dit wel het geval?

Alvast bedankt.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2011 - 13:23

Kun je niet gewoon even de transformatie van een convolutieproduct gebruiken? Zoiets:
LaTeX
Een eigenschap van verschuiving in tijdsdomein geeft -->..... in s domein gebruiken. Dan een coordinaattransformatie en wat je zoekt volgt..
grenzen weggelaten - ik weet niet welke definities jij precies gebruikt

Veranderd door Axioma91, 04 december 2011 - 13:34


#3

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2011 - 14:19

Dit geldt volgens mij alleen wanneer LaTeX

, maar is dit wel het geval?

Natuurlijk. tau is de integratieveranderlijke, terwijl t voor de integraal een constante is.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#4

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2011 - 14:23

Dat is mogelijk, alleen mijn voornaamste probleem is dat ik niet goed weet hoe ik moet differentiŽren na een substitutie.

In dit geval heb ik:

LaTeX

DifferentiŽren naar tau:

LaTeX

Maar geldt nu LaTeX , en zo ja, waarom?
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 december 2011 - 14:24

Ben je het niet eens met ZvdP? Die t is toch gewoon een constante?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2011 - 14:26

Helaas zie ik niet in waarom dat gewoon een constante is, dat is dan ook mijn probleem.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2011 - 14:46

Even een eenvoudiger voorbeeld,

stel:

LaTeX

Volgens de opmerking "tau is de integratieveranderlijke, terwijl t voor de integraal een constante is" zou nu volgens mij moeten gelden:

x is de integratieveranderlijke, terwijl y voor de integraal een constante is.

Dan krijg ik:
LaTeX

Maar stel nou dat geldt y = x^2, dan:
LaTeX

Maar je zou het ook als volgt kunnen berekenen:

LaTeX

Duidelijk is te zien dat dit verschillende antwoorden oplevert, omdat in dit geval y=f(x).


Nu mijn vraag:

Hoezo kan je in het geval:

LaTeX

Direct zeggen dat: LaTeX ?

Terwijl als je de integraal LaTeX hebt, er wel kan gelden dat y=f(x).
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#8

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 december 2011 - 14:49

Helaas zie ik niet in waarom dat gewoon een constante is, dat is dan ook mijn probleem.


Het heeft mij ook een tijdje gekost om te begrijpen wat een convolutie juist doet. Het idee is dat je een van de 2 functies neemt en op een bepaalde plaats t over de andere schuift. Dan bepaal je via de integraal de oppervlakte voor die verschuiving. Je kan dan t laten lopen en voor al die andere verschuivingen telkens de oppervlakte berekenen en op die manier krijg je terug een functie. Maar zie je dat die verschuiving t door de integraal als een constante gezien wordt?

Het wordt mooi geÔllustreerd in onderstaande afbeelding van wikipedia:
Geplaatste afbeelding

#9

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 december 2011 - 21:13

Allereerst mijn excuses voor de late reactie.

Helaas snap ik het nog steeds niet.

De convolution integral:
LaTeX

Dan geldt volgens mij:

t: shift parameter
LaTeX : de running variable

Je kan dan t laten lopen en voor al die andere verschuivingen telkens de oppervlakte berekenen en op die manier krijg je terug een functie.

Ik zie inderdaad dat wanneer je t laat lopen, de functie LaTeX zich zal verplaatsen over de horizontale "LaTeX " as.
Echter, waarom zou je deze t laten lopen? De running variable is toch LaTeX ?

Ik heb het idee dat als t (de shift parameter) groot genoeg is, en LaTeX en LaTeX elkaar niet overlappen, dat de convolutieintegraal 0 is.

Net als dat geldt:
LaTeX , wanneer je dit product integreert van LaTeX tot LaTeX . Hierin staat LaTeX voor de Heaviside step function.

Voor de goede orde, ik weet dat "als t (de shift parameter) groot genoeg is, en LaTeX en LaTeX elkaar niet overlappen, dat de convolutieintegraal 0 is. " niet waar is. Echter ik snap alleen niet waarom dit niet waar is.

Mijn probleem samengevat:
Ik snap dat als t verandert, de functie LaTeX zich zal verplaatsen over de horizontale "LaTeX " as. Echter, de running variable is LaTeX , dus waarom zou je t gaan variŽren en vervolgens het product LaTeX integreren?

Veranderd door Arie Bombarie, 12 december 2011 - 21:13

Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#10

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2011 - 19:35

Ik begrijp dat het verwarrend is en dat je tau als een soort lopende variabele wil zien, maar misschien dat de volgende notatie het duidelijker maakt:
LaTeX
Op t = 0 krijg je LaTeX
Op t = 0 wordt y(0) dus de oppervlakte onder f vermenigvuldigd met g, maar dan gespiegeld om de y-as.

Op t = 1 krijg je LaTeX
Op t = 1 wordt y(1) de oppervlakte onder f vermenigvuldigd met g, gespiegeld om de y-as EN naar rechts verschoven over een afstand 1.
etc.

Als die functies, naar 0 gaan in het oneindige dan zie je inderdaad dat vanaf de verschuiving groot genoeg is ze niet meer overlappen en de convolutie ook 0 wordt.

Dat is wat die afbeelding die ik je laat zien illustreert. Als we over de tijds-as lopen, dan wordt de ene functie gespiegeld tov de y-as en verschoven naar het tijdstip waarop we ons bevinden. Als de functies nu nog overlappen, dan kan in het overlappende gebied een oppervlakte berekend worden onder f()*g(verschoven+gespiegeld).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures