\(\frac{ \partial u }{ \partial t } = \frac{ { \partial }^2 u}{ { \partial x }^2 } + \frac{ { \partial }^2 u }{ { \partial y }^2 }\)
(1) met randvoorwaarden \(u(0,y,t)=u(1,y,t)=u(x,0,t)=u(x,1,t)=0\)
(2) op te lossen met de methode van de scheiding van veranderlijken, maar ik loop vast.Eerst en vooral zoek ik de oplossing van (1) in de vorm
\(u(x,y,t)=F(x,y)T(t)\)
(3).(3) Invullen in (1) geeft de voorwaarden
\(\frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda\)
(4) en \(\frac{F_{xx}(x,y)+F_{yy}(x,y)}{F(x,y)}=\lambda\)
(5) met \(\lambda\)
een constante.Omdat er geen beginvoorwaarde gegeven is voor
\(T(t)\)
los ik eerst (5) op en daarna pas (4). Hier zoek ik de oplossing in de vorm \(F(x,y)=X(x)Y(y)\)
(6).(6) Invullen in (5) geeft de voorwaarden
\(\frac{X''(x)}{X(x)}=\mu\)
(7) en \(\lambda-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\mu\)
(8) met \(\mu\)
een constante.Van (7) en (8) los ik eerst (7) op omdat hier slechts 1 parameter in voorkomt. (7) Is een typisch Sturm-Liouville probleem met als niet-triviale oplossingen
\(X_k(x)=A_k \sin{(\sqrt{-{\mu}_k}x)}\)
met \({\mu}_k=-k^2{\pi}^2\)
(9) met \(k=\pm 1,\pm 2, \pm 3, ...\)
.Dan los ik (8) op met de reeds bepaalde parameterwaarden
\({\mu}_k\)
. (8) Is ook een typisch Sturm-Liouville probleem met als niet-triviale oplossingen \(Y_{k,l}=B_{k,l} \sin{(\sqrt{{\mu}_k-{\lambda}_{k,l}}y)}\)
(10) met \({\mu}_k\)
zoals voorheen en \({\lambda}_{k,l}={\mu}_k-l^2{\pi}^2\)
met \(l=\pm 1,\pm 2, \pm 3, ...\)
.Dan is de meest algemene oplossing die ik voor (5) kan schrijven op basis van deze resultaten
\(F_l(x,y):=\sum_{k=1}{\infty}X_k(x)Y_{k,l}(y)\)
(11).Vervolgens los ik dan (4) op:
\(T_{k,l}(t)=C_{k,l} \exp{({\lambda}_{k,l}t)}\)
(12).Mijn probleem zit hier: om nu de zo algemeen mogelijke oplossing van (1) te bepalen. Normaal zou ik denken dat ik (11) en (12) moet vermenigvuldigen en dat dan uitsommeren over
\(l\)
. Maar het probleem is dat er in (12) nog een \(k\)
zit en ik weet niet goed wat ik moet doen met die k.Kan iemand me helpen?
