Springen naar inhoud

Bewijzen bijectie cosinus


  • Log in om te kunnen reageren

#1

vanwingerde93

    vanwingerde93


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 december 2011 - 21:50

Ik wil graag bewijzen dat de cosinus bijectief is op [0, pi] --> [-1,1]

Om eerst injectiviteit te bewijzen probeerde ik dat door te schrijven:

Neem x1, x2 uit [0, pi]
Re(e^i*x1) = Re(e^i*x2)
Deel beide kanten door Re(e^i*x2):
Re(e^i(x1-x2)) = 1

Maar nu? Of zit ik sowieso helemaal verkeerd te werken?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 december 2011 - 21:58

Ik wil graag bewijzen dat de cosinus bijectief is op [0, pi] --> [-1,1]

Om eerst injectiviteit te bewijzen probeerde ik dat door te schrijven:

Neem x1, x2 uit [0, pi]
Re(e^i*x1) = Re(e^i*x2)
Deel beide kanten door Re(e^i*x2):
Re(e^i(x1-x2)) = 1

Maar nu? Of zit ik sowieso helemaal verkeerd te werken?

Ga uit van de grafiek ...
Je kan ook de eenheidscirkel nemen ...

Veranderd door Safe, 15 december 2011 - 21:58


#3

vanwingerde93

    vanwingerde93


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 december 2011 - 21:59

Ja ik zie wel dat hij injectief is, maar hoe te beginnen?
(Ik ben een 1e jaars student, dus heb nog niet veel ervaring..)

#4

KingArthur

    KingArthur


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 december 2011 - 22:23

Wat is de afgeleide van de cosinus op het interval?

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 december 2011 - 22:34

Ja ik zie wel dat hij injectief is, maar hoe te beginnen?
(Ik ben een 1e jaars student, dus heb nog niet veel ervaring..)

Bij de eenheidscirkel heb je te maken met een halve cirkel, dan is het triviaal!

#6

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2011 - 20:49

Je kan direct bewijzen dat de functie surjectief is op dat interval, immers is [-1,1] het bereik van de cosinusfunctie en wordt dus elk beeld zeker bereikt.

Veranderd door Siron, 17 december 2011 - 20:49


#7

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 december 2011 - 11:06

Je kan de injectiviteit van de cosinus aantonen door te bewijzen dat hij strikt monotoon dalen is op het interval [0,Pi]. Dit zou je bijvoorbeeld kunnen doen door naar de afgeleide van de cosinus te kijken. Je zou het ook op de traditionele manier kunnen doen: LaTeX .

Surjectiviteit van de cosinus kan je ook op meerdere manieren doen: een manier is hiervoor al genoemd. Een ietwat andere manier is gebruik maken van de tussenwaardestelling, alhoewel ik niet weet of je hier al mee bekend bent zo halverwege je eerste jaar :)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures