\(y''-y=x\cos(x)\)
Homogene oplossing:
\(y_h(x)=c_1e^{x}+c_2e^{-x}\)
Particuliere oplossing
Gebruik makend van de methode van de variatie der parameters:
De Wronskiaan:
\(W(e^x,e^{-x})=\left|\begin{array}{cc}e^{x} & e^{-x} \\e^{x} & -e^{-x} \\\end{array}\right|=-e^xe^{-x}-e^{x}e^{-x}=-1-1=-2\neq 0\)
Oplossing van de vorm:
\(y_p(x)=u_1(x)e^{-x}+u_2(x)e^{x}\)
\(u_1'(x)=\frac{-1}{2}\left|\begin{array}{cc}e^{x} & 0 \\e^{x} & x\cos(x) \\\end{array}\right|=\frac{-e^x\cos(x)x}{2}\)
\(u_2'(x)=\frac{-1}{2}\left|\begin{array}{cc}0 & e^{-x} \\x\cos(x) & -e^{-x} \\\end{array}\right|=\frac{xe^{-x}\cos(x)}{2}\)
En dus:
\(u_1(x)=\int u_1'(x)dx=\frac{-1}{2} \int xe^{x}\cos(x)dx=\frac{-1}{4}e^x[(x-1)\sin(x)+x\cos(x)]\)
\(u_2(x)=\int u_2'(x)dx=\frac{1}{2} \int xe^{-x}\cos(x)dx=\frac{1}{4}e^{-x}[(x+1)\sin(x)-x\cos(x)]\)
De particuliere oplossing is dus:
\(y_p(x)=\frac{-1}{4}[(x-1)\sin(x)+x\cos(x)]+\frac{1}{4}[(x+1)\sin(x)-x\cos(x)]=\frac{1}{2}[\sin(x)-x\cos(x)]\)
Oplossing van de DV:
\(y(x)=c_1e^{x}+c_2e^{-x}+\frac{1}{2}[\sin(x)-x\cos(x)]\)
Volgens mij klopt deze uitwerking wel, nu is mijn vraag hoe ik dit kan aanpakken met de methode der onbepaalde coefficienten.
