Springen naar inhoud

Bewijs voor stelling lengte vector.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

De leek

    De leek


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2011 - 22:09

Ik vroeg me laatst iets af over linneaire algebra. Voor de lengte van een vector (x1,...,xn) geldt dat de lengte va de vector gelijk is aan:
LaTeX

Voor 1, 2 en 3 dimensies vind ik dit meer dan logisch. Daar heb je pythagoras voor natuurlijk. Maar hoe bewijs je dat deze regel ook geldt voor vectoren met meer dan 3 dimensies?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 december 2011 - 22:29

Laat eens zien hoe jouw bewijs eruit ziet voor drie dimensies?

En waar volgens jou een beperking zit die zich niet laat uitbreiden tot meer dimensies?

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 17 december 2011 - 22:30

Ik vroeg me laatst iets af over linneaire algebra. Voor de lengte van een vector (x1,...,xn) geldt dat de lengte va de vector gelijk is aan:
LaTeX



Voor 1, 2 en 3 dimensies vind ik dit meer dan logisch. Daar heb je pythagoras voor natuurlijk. Maar hoe bewijs je dat deze regel ook geldt voor vectoren met meer dan 3 dimensies?

Je vergeet de kwadraten ...
Verder geldt deze vorm als definitie voor de lengte.

#4

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 december 2011 - 23:15

Voor 1, 2 en 3 dimensies vind ik dit meer dan logisch. Daar heb je pythagoras voor natuurlijk. Maar hoe bewijs je dat deze regel ook geldt voor vectoren met meer dan 3 dimensies?

Ofwel neem je pythagoras aan en dan kun je het ook zo berekenen in 4 en meer dimensies. Maar meestal gebruik je deze definitie van de lengte net om pythagoras te bewijzen. (zij het dat het dan meestal ver verstopt zit in andere stellingen)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#5

De leek

    De leek


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2012 - 16:25

Ja ik was de kwadraten vergeten. Is het meer een soort axioma?

Voor 2 en 3 dimensies is het voor mij duidelijk hoe je Pythagoras toepast. Maar hoe kun je dat gebruiken voor een nog verdere generalisatie van de lengte van een vector als functie van de elementen in een vector met meer dan 3 elementen?

Je kan wel zeggen dat het een definitie is voor de lengte, maar lengte is de afstand tussen 2 punten. Dus hoe kun je zeker weten dat die formule de lengte beschrijft voor vectoren met meer dan 3 elementen? Is dit een aanname of zit hier een bewijs achter?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2012 - 17:37

Je kan wel zeggen dat het een definitie is voor de lengte, maar lengte is de afstand tussen 2 punten.

Maar hoezo spreek je over "de" lengte? Het klinkt misschien vreemd, maar wiskundig kunnen je verschillende "afstanden" invoeren/definiëren.
En van zodra je boven drie dimensies gaat, waaraan wil je dit nog "toetsen" om zeker te zijn dat het wel overeenstemt met wat jij zou beschouwen als de enige juiste, fysische/natuurlijke lengte?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

De leek

    De leek


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juli 2012 - 20:21

Maar hoezo spreek je over "de" lengte? Het klinkt misschien vreemd, maar wiskundig kunnen je verschillende "afstanden" invoeren/definiëren.
En van zodra je boven drie dimensies gaat, waaraan wil je dit nog "toetsen" om zeker te zijn dat het wel overeenstemt met wat jij zou beschouwen als de enige juiste, fysische/natuurlijke lengte?


Ik heb er nog even over nagedacht. Een belangrijke eigenschap van lengte is dat het niet beïnvloed wordt door rotatie.

Misschien een volgende definitie:

2 vectoren v1 en v2 zijn even lang dan en slechts dan als het mogelijk is om v1 zo te roteren in R^n dat het na die rotatie exact gelijk is aan v2.

Ik ben ervan overtuigd dat de lengte van de vector (a,0,0,...,0)(n-1 nullen) gelijk is aan a zou het mogelijk zijn om dan te bewijzen dat alle vectoren in R^n waarbij de som van de kwadraten van de elementen a^2 is zo te roteren zijn dat je de vector (a,0,0,..,0) uit die rotatie kan verkrijgen?

#8

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juli 2012 - 20:36

Misschien is het beter dat je eerst een sluitende definitie geeft van jouw begrip van lengte.


PS. Ik zelf zie het als een metriek.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures