Ik ben aan het oefenen voor een tentamen over rijen en reeksen.
We hebben verschillende methodes geleerd om te bepalen of een reeks convergeert of divergeert (comparison, integraal, ratio, quotientest, ratiotest)
Ik merk dat ik soms door de bomen het bos niet meer zie, met al die testen...Wat gebruik je wanneer etc.
Nu ben ik met een opgave bezig en ik ben er sterk van overtuigd dat er een ratiotest gebruikt moet worden. Maar wanneer ik die gebruik krijg ik het idee dat er toch iets niet goed gaat. Zouden jullie mee kunnen kijken en eventueel bij kunnen sturen? Alvast bedankt!
Som (n=0 tot oneindig) 2^(3n-2) / 3^(2n-1)
Bij de ratiotest neem je de limiet --> Oneindig van (An + 1) / An
An + 1 = 2^(3(n+1)-2) / 3^(2(n+1)-1) = 2^(3n+1) / 3^(2n+1)
Lim (2^(3n+1) / 3^(2n+1)) / (2^(3n-2) / 3^(2n-1)) Veel termen vallen hierdoor tegen elkaar weg
Er blijft over (2/3) * (1/3)/(1/4) = 8/9
Maar hiervan kan je geen limiet nemen omdat de termen met een n erin weggevallen zijn?
Is de ratiomethode hier niet juist of maak ik ergens anders een fout?
P.s. (Sorry ik wilde het met latex doen, maar ik kreeg de som niet helemaal goed....)
Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Reeksen convergeren/divergeren
-
- Berichten: 10.179
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Geen van beidenIs de ratiomethode hier niet juist of maak ik ergens anders een fout?
. De limiet van een constante is gewoon die constante. Ergens ook wel logisch, niet?Voor in de toekomst:P.s. (Sorry ik wilde het met latex doen, maar ik kreeg de som niet helemaal goed....)
Code: Selecteer alles
[tex]\sum_{n = 1}^{+ \infty}[/tex]\(\sum_{n = 1}^{+ \infty}\)
.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 26
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Dank je wel voor je snelle reactie Drieske!
Dus ik mag hier concluderen dat omdat de uitkomst van de limiet 8/9 = minder dan 1 is
de reeks (absoluut) convergeert?
Dus ik mag hier concluderen dat omdat de uitkomst van de limiet 8/9 = minder dan 1 is
de reeks (absoluut) convergeert?
-
- Berichten: 10.179
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Als je even een rappe blik werpt op je reeks:
En begrijp je dat de limiet van een constante gewoon die constante is?
\(\frac{2^{3n - 2}}{3^{2n - 1}} = \frac{2^{3n}2^{-2}}{3^{2n}3^{-1}} = \frac{3}{4} \frac{8^n}{9^n}\)
. Kun je dan niets 'zo' besluiten over je reeks (zonder ratio test, ook al werkt die wel)?En begrijp je dat de limiet van een constante gewoon die constante is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 26
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Ik zie wat je bedoelt.... Nu je hem anders geschreven hebt, herken ik er ook een meetkundige reeks in.Waarbij de ratio/r =3/4
De vuistregel zegt dat als de ratio kleiner dan 1 is, de reeks convergeert.
Dat is natuurlijk een enorm tijdsbesparing op een tentamen!
(bij mij ontbreekt het inzicht vaak, waardoor ik me vastklamp aan alle regeltjes die ik wel kan onthouden....)
p.s. En ik begrijp(neem bij deze aan) dat de limiet van een constante een constante is/blijft, ik was het alleen nog nooit tegengekomen
-
- Berichten: 1.069
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Eigenlijk is de reden
Dit is inderdaad een meetkundige reeks met reden
\(\frac{8}{9}\)
, immers:\(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{3n-2}}{3^{2n-1}} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{4}\frac{8^n}{9^n}=\frac{3}{4} \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^n\)
Dit is inderdaad een meetkundige reeks met reden
\(\frac{8}{9}\)
en dus vermits \(\left|\frac{8}{9}\right|<1\)
zal de reeks convergeren (naar welk getal?).-
- Berichten: 26
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Aangezien de breuk steeds kleiner wordt convergeert de reeks naar nul (denk ik)
-
- Berichten: 1.069
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Aangezien de breuk steeds kleiner wordt convergeert de reeks naar nul (denk ik)
In het algemeen bij dergelijke gevallen convergeert de reeks naar het getal
\(\frac{a}{1-r}\)
(waarbij \(a\)
de eerste term is en \(r\)
de ratio), dus niet 0.-
- Berichten: 26
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Je hebt gelijk, ik nam de limiet en die loopt als het goed is wel naar 0?
Het juiste antwoord moet zijn:
(3/4)/(1-(8/9)) = (3/4) * 9 = 27/4
Bedankt voor je vragen!
Het juiste antwoord moet zijn:
(3/4)/(1-(8/9)) = (3/4) * 9 = 27/4
Bedankt voor je vragen!
-
- Berichten: 1.069
Re: Reeksen convergeren/divergeren
Klopt! Graag gedaanCaroWis schreef:Je hebt gelijk, ik nam de limiet en die loopt als het goed is wel naar 0?
Het juiste antwoord moet zijn:
(3/4)/(1-(8/9)) = (3/4) * 9 = 27/4
Bedankt voor je vragen!
