N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Thomas93

Sorry dat dit mijn tweede topic al is op een uur tijd, maar ik heb hier echt moeite mee...

De vraag is: bepaal de partieelsom Sn en de reekssom S horend bij de volgende functie. Als de algemene term rationaal i, dan is splitsing in partieelbreuken aangewezen.

tn = 1 / (n(n+1)

SiPB geeft :

A/n + B / (n+1) = tn

A(n+1) + Bn = 1

An + A + Bn = 1

n(A+B) + A = 1

A+B = 0 met A = 1 dus B =-1

tn = 1 / n - 1/(n+1)

Maar nu zit ik dus vast...

Siron

Het lijkt me handig om eens een aantal termen van de reeks op te schrijven nu je de algemene term gesplitst hebt en te kijken wat er allemaal tegen elkaar wegvalt.

Opmerking: Gaat het hier over oneindige reeksen? Of is de algemene term de laatste term (dus eindig)?

Thomas93

of ze eindig zijn of oneindig moet je zelf bepalen. Limiet op oneindig pakken en kijken of dit convergeert of divergeert (je moet de "eventuele" reekssom bepalen, was ik vergeten vermelden)

Dus, enkele termen;

t1 1/2 n=1

t2 1/6 n=2

t3 1/12 n=3

1/2 is dus een gemeenschappelijke factor bij alles? Dat is dan t0 of niet?

dan kan je eigenlijk zeggen 0.5(1, 1/3, 1/6, ...,)?

Siron

De algemene term is:

\(t_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

De reeks komt er dus als volgt uit te zien:

\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\ldots\)

Wat valt je op?

Thomas93

-0.5 + 0.5 = 0

-0.33 + 0.33 = 0

..

Dus enkel 1 blijft over als som?

EDIT:

Dus de limiet naar +oneindig van Sn is 1 ? wat dus de reekssom is?

Siron

1 is het goede antwoord, maar het draait hierom:

De n-de partieelsom van de reeks is:

\(S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots + \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Er blijft dus over dat

\(S_n=1-\frac{1}{n+1}\)

Bepaal nu:

\(\lim_{n\to +\infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)

Als deze limiet bestaat en reeel is dan zal de reeks hiernaar convergeren.

Thomas93

Volgens de oplossing van de cursus is Sn = 1 / (n+1) ... niet 1 - 1/(n+1)

Siron

Volgens de oplossing van de cursus is Sn = 1 / (n+1) ... niet 1 - 1/(n+1)

Dat lijkt me vreemd ...

Jaimy11

Dat lijkt me vreemd ...

Mij ook.

Sterker nog, ik weet zeker dat Siron gelijk heeft.

Thomas93

Dan zal dit een fout zijn in de cursus.

Ik ben er nog altijd niet 100% mee weg, maar ga het even laten rusten nu. Bedankt voor de moeite

Siron

Thomas93 schreef:Dan zal dit een fout zijn in de cursus.

Ik ben er nog altijd niet 100% mee weg, maar ga het even laten rusten nu. Bedankt voor de moeite

Wat begrijp je dan nog niet goed?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken

Re: N-de partieelsom aan de hand van splitsen in partieelbreuken