Differentiaalvergelijking oplossen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 99

Differentiaalvergelijking oplossen

Hallo allemaal,

ben nu voor school bezig met Differentiaal vergelijkingen. Eerste kennismaking en alhoewel ik het principe redelijk begrijp moet ik het in de praktijk nog leren. Soms door 'vage' vraagstelling twijfel ik nog wel eens aan mijn antwoord of ik kom er gewoon niet uit :)

Het gaat om u'' + 3u' + 2u = cos(t)

gevraagd wordt om eerste de homogene oplossing te geven.
\(a^2 + 3a + 2 = 0 \)
\((a+2)(a+1) = 0 \)
\(a = -2 \ of \ a = -1\)
Dus
\(u_{hom}(t) = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}\)


klopt dit?

Volgende vraag.

r1 en r2 zijn -1 en -2 van vraag 1!
\(u'(t) = \left(C'_1(x)e^{r_1t} + C'_2(x)e^{r_2t}\right) - \left(C_1(x)r_1e^{r_1t} + C_2(x)r_2e^{r_2t}\right)\)
Met bijbehorende voorwaarde dat
\(\left(C'_1(x)e^{r_1t} + C'_2(x)e^{r_2t}\right) = 0 \)
Vul in in originele formule, aan welke DV moeten C1 en C2 nu voldoen?
\( \left(C'_1(x)r_1e^{r_1t} + C_1(x)r_1^2e^{r_1t} + C'_2(x)r_2e^{r_2t} +C_2(x)r_2^2e^{r_2t} \right)\)
\( + 3\left(C_1(x)r_1e^{r_1t} + C_2(x)r_2e^{r_2t}\right) + 2\left(C_1(x)e^{-t} + C_2(x)e^{-2t}\right) = \cos{t}\)


Klopt deze?

Dan nu de vraag waar ik het antwoord nog op moet vinden.

Vind met behulp van c) (2e antwoord) en vergelijking (13) (
\(\left(C'_1(x)e^{r_1t} + C'_2(x)e^{r_2t}\right) = 0 \)
) een particuliere oplossing van de originele differentiaalvergelijking controleer door subsititutie of het antwoord klopt.

Ik ben u, u' en u'' gaan invullen en liep toen vast.

wellicht omdat een van de vorige vragen niet klopt?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Dit klopt!
wesleyc schreef:Het gaat om u'' + 3u' + 2u = cos(t)

gevraagd wordt om eerste de homogene oplossing te geven.
\(a^2 + 3a + 2 = 0 \)
Met bijbehorende voorwaarde dat
\(\left(C'_1(x)e^{r_1t} + C'_2(x)e^{r_2t}\right) = 0 \)
Vul in in originele formule, aan welke DV moeten C1 en C2 nu voldoen?
\( \left(C'_1(x)r_1e^{r_1t} + C_1(x)r_1^2e^{r_1t} + C'_2(x)r_2e^{r_2t} +C_2(x)r_2^2e^{r_2t} \right)\)
\( + 3\left(C_1(x)r_1e^{r_1t} + C_2(x)r_2e^{r_2t}\right) + 2\left(C_1(x)e^{-t} + C_2(x)e^{-2t}\right) = \cos{t}\)


Klopt deze?

Berichten: 99

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Nieuwe poging dan!

In de opgave wordt nu verder gerekend met
\( r_1\ \mbox{en}\ r_2\)
ipv. -1 en -2.

u(t) hebben we gevonden in opgave a. In opgave b zijn de stappen doorlopen naar de volgende afgeleide:
\(u'(t) = \left(C'_1(x)e^{r_1t} + C'_2(x)e^{r_2t}\right) - \left(C_1(x)r_1e^{r_1t} + C_2(x)r_2e^{r_2t}\right)\)
Voor vraag c wordt de volgende voorwaarde gegeven:

Omdat we twee onbepaalde functies c1 en c2 hebben leggen we een extra voorwaarde

op om de berekening te vereenvoudigen. Door de keuze
\(\left(C'_1(x)e^{r_1t} + C'_2(x)e^{r_2t}\right) = 0 \)
zorgen we ervoor dat wanneer we oplossing (B) invullen in (A), we een eerste-orde

dierentiaalvergelijking krijgen voor c2 en c1

Geef de differentiaalvergelijking waaraan c1 en c2 voldoen

Mijn antwoord:
\( \left(C'_1(x)r_1e^{r_1t} + C_1(x)r_1^2e^{r_1t} + C'_2(x)r_2e^{r_2t} +C_2(x)r_2^2e^{r_2t} \right)\)
\( + 3\left(C_1(x)r_1e^{r_1t} + C_2(x)r_2e^{r_2t}\right) + 2\left(C_1(x)e^{-t} + C_2(x)e^{-2t}\right) = \cos{t}\)


Klopt deze?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Ik ben bang dat je zo niet veel verder komt ...

Probeer eens de opl y=Acos(t)+Bsin(t), natuurlijk moeten de constanten A en B bepaald worden.

Voor de homogene verg ga je uit van y=e^(at), laat zien dat je dan inderdaad de (karakteristieke) verg krijgt.

Berichten: 99

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

bedankt voor je antwoord. Ik ga ermee aan de slag na kerst

Reageer