Springen naar inhoud

Convergentie van reeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

cathal

    cathal


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2011 - 09:14

hey
ik zit met 2 vraagjes over reeksen.
Eerste:
in onze cursus behandelden we absolute en semi convergente reeksen. als voorbeeld voor absolute zagen we:
sigma( (-1)^n (2^n/3^n)
als voorbeeld voor semi convergent zagen we:
sigma( (-1)^(n+1) (1/n)

Nu snap ik niet waarom de som van de abs waarde van de termen van de eerste convergent is en van de tweede divergent. Bij Beide telt men toch een steeds kleiner wordend getal op bij de reeks die men al had??

Iemand die mij kan helpen?

Alvast bedankt
Cathal

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2011 - 14:23

We zullen het hier hebben over je eerste vraag. Voor de tweede mag je een nieuw topic openen, en kunnen we daar die vraag behandelen (zie je postvak voor de vraag - bespaart je typwerk :)).

Als ik hieronder praat over 'de reeks', bedoel ik steeds 'de reeks met de absolute waarden van de termen' :).

Eerste:
in onze cursus behandelden we absolute en semi convergente reeksen. als voorbeeld voor absolute zagen we:
sigma( (-1)^n (2^n/3^n)
als voorbeeld voor semi convergent zagen we:
sigma( (-1)^(n+1) (1/n)

Nu snap ik niet waarom de som van de abs waarde van de termen van de eerste convergent is en van de tweede divergent. Bij Beide telt men toch een steeds kleiner wordend getal op bij de reeks die men al had??

Je begrijpt dat een reeks wel iets meer moet zijn dan 'elk volgend getal wordt kleiner'? Als je zegt dat ze convergent is, moet ze in het bijzonder onder een (eindig) getal blijven (waarom?). Kun je er zo eentje noemen?

Bij de eerste reeks zou je het wel moeten lukken om zo'n getal te geven. Sterker nog: in dit geval zou je zo op het zicht de limiet van de reeks moeten kunnen geven.

Mocht je dit niet lukken, zal ik je 'bewijzen' waarom de tweede reeks niet convergeert, maar ik hoop je op deze manier met inzicht te kunnen overtuigen :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

cathal

    cathal


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2011 - 18:15

Helaas, ik ik zie echt niet op het zicht naar waar de reeks (van absolute termen) convergeert.
Als ik zelf een reeks bedenk die convergent is( dan s dit steeds een reeks waarvan de termen exponentieel kleiner worden. Misschien is dit de extra voorwaarde waaraan de reeks moet voldoen om convergent te zijn(?)

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2011 - 18:19

Ben je niet bekend met de reeks LaTeX ? En de limiet hiervan, als a<1... Zonee, kun je eens hier kijken.

Nuja, bij die tweede (met absolute waarden) dan. Kun je een getal geven waar je in jouw ogen sowieso onder blijft? Dan leg ik daarna uit waarom je daar sowieso boven gaat (ooit) :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

cathal

    cathal


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2011 - 19:46

aha, ik had er helemaal niet aangedacht, maar uiteraard ken ik die formule.
het lijkt me dat de tweede reeks steeds onder 2 blijft...

alvast bedankt!

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2011 - 20:22

Voor de goede orde: sommeer je vanaf 0 of vanaf 1? Voor het punt doet er verder niet toe, dus ik ga werken met 0. Dat geeft: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Merk nu op dat de eerste twee termen groter zijn dan 1/2. Neem nu 1/3 en 1/4 samen. Dan weet je: 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2. Dus: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 > 2.

Om de redenering af te maken. We hebben nu dat 1/3 + 1/4 > 1/2. Dit kunnen we verderzetten; beschouw volgende termen LaTeX . Als je nu wat telt, zie je dat er zo LaTeX termen zijn. Dus LaTeX .

En hier zie je meteen waarom je reeks niet convergeert.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

cathal

    cathal


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2011 - 20:30

super ik begrijp het volledig!

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 december 2011 - 20:32

Graag gedaan :). Natuurlijk werkt deze uitwerking enkel voor deze specifieke reeks hŤ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures