Springen naar inhoud

Overaftelbaarheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 december 2011 - 20:18

Hallo allemaal,

ik wil me graag verdiepen in verzamelingenleer, en wel in het theorema van Cantor en (over)aftelbaarheid in het algemeen. Ik volg niet helemaal waarom LaTeX . Ik zie wel waarom dit zo is voor een eindige verzameling, maar ben er niet helemaal van overtuigd waarom dit ook geldt voor een oneindige verzameling. Verder volg ik ook niet helemaal waarom de kardinaliteit van LaTeX nu precies gelijk is aan de kardinaliteit van de powerset van LaTeX

Kan iemand een linkje sturen naar een site of een pdf waar dit wordt uitgelegd ? :)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2011 - 20:39

Ik ben geen expert, maar ik moet daar toevallig net stukken van leren.

Er zijn maar 2 kardinaliteiten voor dingen van oneindige grootte: aftelbaar en niet-aftelbaar.
Cantor heeft bewezen dat voor elke verzameling S, de powerset ervan 'groter' is dan de verzameling zelf.
Als de powerset van N groter moet zijn dan N zelf, dan kan die enkel niet-aftelbaar zijn en is ze dus 'even groot' als R.

Kijk hier voor het bewijs.

#3

Yoran1991

    Yoran1991


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 december 2011 - 20:58

Bedankt voor je snelle reactie :)

Ik heb het vorig jaar wel gehad bij een cursus, maar toen heb ik er weinig aandacht aan besteed. Ik weet wel dat een powerset groter is dan de set zelf, en dus dat de powerset van de natuurlijke getallen overaftelbaar moet zijn.

Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan LaTeX . Zoals ik al zei, ik zie dit wel voor eindige verzameling (elk element kan wel of niet in een subset zitten, dus de powerset heeft kardinaliteit 2^{n} waar n het aantal elementen is), maar niet voor een oneindige verzameling.

Veranderd door Yoran1991, 28 december 2011 - 21:03


#4

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 28 december 2011 - 21:13

[quote name='Xenion' post='708360' date='28 December 2011, 20:39']Er zijn maar 2 kardinaliteiten voor dingen van oneindige grootte: aftelbaar en niet-aftelbaar.
Cantor heeft bewezen dat voor elke verzameling S, de powerset ervan 'groter' is dan de verzameling zelf.
Als de powerset van N groter moet zijn dan N zelf, dan kan die enkel niet-aftelbaar zijn en is ze dus 'even groot' als R.[/quote]

Dat is strikt genomen niet juist, er zijn oneindig veel kardinaliteiten. Zie:

Bericht bekijken
Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan LaTeX .[/quote]

Dat is ook nog een van grote raadsels van de wiskunde:

http://nl.wikipedia....inuümhypothese


Zie verder nog:

http://nl.wikipedia....t..._continuüm

http://mathworld.wol...nentiation.html

Veranderd door Bartjes, 28 december 2011 - 21:26


#5

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2011 - 21:31

Dat is strikt genomen niet juist, er zijn oneindig veel kardinaliteiten. Zie:

http://nl.wikipedia..../Kardinaalgetal


Ah, mijn excuses dan. Ik gebruik het enkel in de context van beslisbaarheid bij Turingmachines.

#6

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2011 - 22:14

Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan LaTeX

. Zoals ik al zei, ik zie dit wel voor eindige verzameling (elk element kan wel of niet in een subset zitten, dus de powerset heeft kardinaliteit 2^{n} waar n het aantal elementen is), maar niet voor een oneindige verzameling.

Eigenlijk is dit erg eenvoudig. Ieder reel getal op een binaire manier neerschrijven. Ieder reel getal kun je schrijven als een aftelbaar aantal cijfers, ofwel 1 ofwel 0. Dus dan is de kardinaliteit van de rele getallen (LaTeX ) gelijk aan de powerset van de aftelbare getallen. (LaTeX )

Waar bartjes het over heeft, is de vraag of er kardinaliteiten bestaan kleiner dan LaTeX en groter dan LaTeX . Niet helemaal ter zake hier.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 december 2011 - 22:21

Hmm, dat interpreteer ik toch anders hoor, 317070. Letterlijk vanuit Wikipedia:

Met zijn diagonaalbewijs toonde Cantor aan dat het aantal rele getallen, aangeduid als C, groter is dan LaTeX

. Uit het diagonaalbewijs volgt echter niet dat C gelijk is aan LaTeX , het eerste kardinaalgetal groter dan LaTeX .
..//..
De continuumhypothese is op haar beurt gelijkwaardig met de gelijkheid
LaTeX

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2011 - 00:38

Hmm, dat interpreteer ik toch anders hoor, 317070. Letterlijk vanuit Wikipedia:

Oh, I see. My bad. Ik dacht dat LaTeX gedefinieerd was als de kardinaliteit van de rele getallen, maar dat klopt dus niet.
Wat er dus gevraagd werd:

Nog steeds resteert mijn vraag waarom de kardinaliteit van R gelijk is aan LaTeX

.

Dus je kunt bewijzen dat de kardinaliteit van de reele getallen gelijk is aan LaTeX , maar of die ook gelijk is aan LaTeX kun je niet beslissen met de klassieke axiomas, daarvoor moet je een nieuw axioma invoeren.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#9

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2012 - 22:35

Oh, I see. My bad. Ik dacht dat LaTeX

gedefinieerd was als de kardinaliteit van de rele getallen, maar dat klopt dus niet.
Wat er dus gevraagd werd:

Dus je kunt bewijzen dat de kardinaliteit van de reele getallen gelijk is aan LaTeX , maar of die ook gelijk is aan LaTeX kun je niet beslissen met de klassieke axiomas, daarvoor moet je een nieuw axioma invoeren.


Het probleem ligt dieper.

Bestaat er tussen twee transfiniete Kardinaal getallen altijd tenminste een ander transfiniet Kardinaal getal?

1. Er is aangetoond door een slimerik dat als men aanneemt dat het zo is, dat niet tot contradicties leidt.

2. Vervelendewijs heeft een andere slimmerik aangetoond dat aannemen dat het niet zo is, ook niet tot contradikties leidt.

Maar kan men nu beide aannemen zoals met wel of niet Euclidische meetkunde?

Of is er maar eentje waar en is het onbewijsbaar welke????

Ik denk (zonder bewijs) het laatste.

PS. Brouwer draait zich nu om in zijn graf van het lachen.

Veranderd door tempelier, 09 januari 2012 - 22:36

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures