Te bewijzen is dat;:
\(\forall x>0: \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)
Puur vanuit de definitie:\(\Gamma(x+1)=\int_{0}^{+\infty} t^{x}\cdot e^{-t}dt=\lim_{a \uparrow 0}\lim_{b \to +\infty}\int_{a}^{b} t^xd(-e^{-t})\)
\(=\lim_{a \uparrow 0}\lim_{b \to +\infty}\left( \left[ -te^{-t}\right]_{a}^{b}+x\int_{a}^{b}t^{x-1}e^{t}dt\right)\)
\(=\lim_{a \uparrow 0}\lim_{b \to +\infty} \left( \left[-te^{-t}\right]_{a}^{b}+x \Gamma(x)\right)\)
Nu moet ik dus alleen nog aantonen dat:\(\lim_{a \uparrow 0}\lim_{b \to +\infty} \left[-te^{-t}\right]_{a}^{b} =0\)
\(=\lim_{a \uparrow 0} \lim_{b \to +\infty} \left[-ae^{-a}+be^{-b}\right]\)
\(=\lim_{a \uparrow 0} \left( \frac{-a}{e^a}\right)+\lim_{b \to \infty} \left(\frac{b}{e^b}\right)\)
Toepassing van de l'Hopital op de rechterlimiet geeft:\(=0 + \lim_{b \to \infty} \left(\frac{1}{e^b}\right)=0+0=0\)
Is dit een goed bewijs? ...
.