Springen naar inhoud

Limietcykels


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2012 - 18:22

Hallo,
ik probeer te begrijpen wat limietcykels precies zijn en vooral ook hoe je ze kunt vinden.
Ik weet dat het te maken heeft met een periodieke oplossing van de differentiaalvergelijking, maar hoe 't dan verder precies zit snap ik nog niet echt.
Kan iemand mij dit vertellen? En dan vooral hoe je ze kunt vinden aan de hand van dat alleen gegeven is het systeem:
x' = ... & y'= ...
(waarbij de '...' natuurlijk bekend zijn)
Alvast hartelijk dank!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2012 - 19:24

Voor een limietcykel geldt intuitief dat de straal tot de oorsprong niet moet veranderen, toch? Als je het stelsel dus kunt omschrijven naar poolcoordinaten en dus een vergelijking voor r' en theta' krijgt, dan geldt voor de limietcykel dat r' =0.

Kan je daar iets mee?
PS: ik neem aan dat in een eerste aanraking met cykels gaat om een cirkel.

Veranderd door Axioma91, 04 januari 2012 - 19:31


#3

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2012 - 19:42

Het is niet evident om een limietcyclus aan te tonen. Er staan daar een aantal stellingen voor zoals die van Poincarť Bendixson. Een limietcyclus hoeft niet altijd cirkelvormig te zijn. Een goed boek, zonder veel wiskundige bewijzen is
"Nonlinear dynamics and chaos:with applications to physics, biology, chemistry, and engineering" van Strogatz.

Veranderd door aestu, 04 januari 2012 - 19:45


#4

VeerleT

    VeerleT


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2012 - 21:35

Hoi,

Ik ben hier toevallig ook mee bezig.

Bijvoorbeeld:
x'=x-y-x sqrt(x^2+y^2)
y'=x+y-y sqrt(x^2+y^2)

Ik loop hier dus ook vast. Iemand tips?

#5

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2012 - 17:31

Hoi,

Ik ben hier toevallig ook mee bezig.

Bijvoorbeeld:
x'=x-y-x sqrt(x^2+y^2)
y'=x+y-y sqrt(x^2+y^2)

Ik loop hier dus ook vast. Iemand tips?

De truc is eerst het omschrijven naar poolcoordinaten, dan de ene vergelijking met cos(x), de andere met sin(x) vermenigvuldigen en bij elkaar optellen. Daarna andersom en dan van elkaar aftrekken (het zou ook andersom kunnen zijn, moet je even proberen, er valt vaak een hoop weg)
Dan krijg je als het goed is een vergelijking voor dr/dt = .. en d theta/dt = .. die je eenvoudig kunt oplossen.

#6

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 15:53

De truc is eerst het omschrijven naar poolcoordinaten, dan de ene vergelijking met cos(x), de andere met sin(x) vermenigvuldigen en bij elkaar optellen. Daarna andersom en dan van elkaar aftrekken (het zou ook andersom kunnen zijn, moet je even proberen, er valt vaak een hoop weg)
Dan krijg je als het goed is een vergelijking voor dr/dt = .. en d theta/dt = .. die je eenvoudig kunt oplossen.

Hoe krijg je dan precies een vergelijk voor dr/dt en d theta/dt ?
Als ik x = rcos(theta) en y = rsin(theta) substitueer en dan vermenigvuldig met cos(theta) en sin(theta) dan valt er inderdaad veel weg, maar dan heb ik vergelijkingen voor cos(theta)x' + sin(theta)y' en de variant waar je ze van elkaar aftrekt..
En als je dan daarvoor een oplossing hebt, wat zou je daar vervolgens mee kunnen? (terug subsitueren om een vergelijking voor x & y te krijgen, maar hoe vind je dan een limietcykel?)

#7

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 16:59

Hoe krijg je dan precies een vergelijk voor dr/dt en d theta/dt ?
Als ik x = rcos(theta) en y = rsin(theta) substitueer en dan vermenigvuldig met cos(theta) en sin(theta) dan valt er inderdaad veel weg, maar dan heb ik vergelijkingen voor cos(theta)x' + sin(theta)y' en de variant waar je ze van elkaar aftrekt..
En als je dan daarvoor een oplossing hebt, wat zou je daar vervolgens mee kunnen? (terug subsitueren om een vergelijking voor x & y te krijgen, maar hoe vind je dan een limietcykel?)

LaTeX
LaTeX
substitueer
LaTeX LaTeX
Dan volgt vergelijking (i):
LaTeX
en vergelijking (ii)
LaTeX

We vermenigvuldigen (i) met cos(theta), dan vinden we (i*)
LaTeX
en vermenigvuldigen we (ii) met sin(theta), dan vinden we (ii*)
LaTeX
Bij elkaar optellen:
LaTeX
Volgens mij.. Ik ben heel goed in het maken van foutjes - goed om dit even na te rekenen...
Volg dezelfde procedure (i) met sin(theta) vermenigvuldigen en (ii) met costheta en dan van elkaar aftrekken (als je naar (i) en (ii) kijkt met een beetje sin^2+cos^2=1 gevoel, dan zie je meteen waarom.

Nu heb ik ook weer even geoefend voor mijn aankomende tentamen =P, veel mensen met DVs rond dit tijdstip.
Oh en dan volgt dus dr/dt = 0 stellen zodat r = r^2 <=> r =1

Veranderd door Axioma91, 06 januari 2012 - 17:00


#8

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:59

LaTeX


LaTeX
substitueer
LaTeX LaTeX
Dan volgt vergelijking (i):
LaTeX
en vergelijking (ii)
LaTeX

We vermenigvuldigen (i) met cos(theta), dan vinden we (i*)
LaTeX
en vermenigvuldigen we (ii) met sin(theta), dan vinden we (ii*)
LaTeX
Bij elkaar optellen:
LaTeX
Volgens mij.. Ik ben heel goed in het maken van foutjes - goed om dit even na te rekenen...
Volg dezelfde procedure (i) met sin(theta) vermenigvuldigen en (ii) met costheta en dan van elkaar aftrekken (als je naar (i) en (ii) kijkt met een beetje sin^2+cos^2=1 gevoel, dan zie je meteen waarom.

Nu heb ik ook weer even geoefend voor mijn aankomende tentamen =P, veel mensen met DVs rond dit tijdstip.
Oh en dan volgt dus dr/dt = 0 stellen zodat r = r^2 <=> r =1

Bedankt! Dus op deze manier heb je een oplossing gevonden van de dv, en omdat dat sinussen/cosinussen zijn, heb je een limietcykel?
Ik vraag me dan alleen nog af wat precies de limietcykel is, kun je zoiets definieren of is het zoiets als dat x en y zelf limietcykels zijn? (Ik heb nog niet echt een duidelijk beeld van wat limietcykels zijn)

#9

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 18:27

Bedankt! Dus op deze manier heb je een oplossing gevonden van de dv, en omdat dat sinussen/cosinussen zijn, heb je een limietcykel?
Ik vraag me dan alleen nog af wat precies de limietcykel is, kun je zoiets definieren of is het zoiets als dat x en y zelf limietcykels zijn? (Ik heb nog niet echt een duidelijk beeld van wat limietcykels zijn)

Hm ja je hebt nu de oplossing van de dv gevonden. Je kunt die oplossing straks dus ook weergeven in x,y coordinaten (ik prefereer r,theta, gezien de eenvoud van de gevonden oplossing). Wat je nu hebt is dr/dt. Je stelt die gelijk aan 0, daarmee zorg je ervoor dat je oplossing vindt, waarbij de afstand tot de oorsprong altijd gelijk blijft! --> dat lijkt op een cirkel, nietwaar?

Let op: het gaat om een limiet cirkel (zo noem ik 'm nu maar even) en niet limietcykels in het algemeen (dat hoeven geen cirkels te zijn).

We stellen dr/dt = 0, dus volgt r = 1. Dan is de limietcirkel de oplossing met r = 1.
Om de rest van het faseplaatje te bepalen, kijk je naar wat er gebeurt als r in (0,1). Dan dr/dt > 0 *(als mijn gevonden opl klopt). Dus de oplossing gaat weg van de oorsprong, naar de "limiet"cirkel.

Als je dtheta/dt = .. hebt gevonden, weet je ook hoe de radiele voorplanting is, dus welke kant "je oplossing opdraait".

Hetzelfde doe je ook voor r>0. Lukt het om dtheta/dt te vinden en zo ja, om een faseplaatje te maken?


Hier heb je een plaatje, waarvan ik niet weet of de richting klopt (radieel), maar zoiets moet je krijgen
limcirkel.png

Veranderd door Axioma91, 06 januari 2012 - 18:32


#10

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 12:39

Hm ja je hebt nu de oplossing van de dv gevonden. Je kunt die oplossing straks dus ook weergeven in x,y coordinaten (ik prefereer r,theta, gezien de eenvoud van de gevonden oplossing). Wat je nu hebt is dr/dt. Je stelt die gelijk aan 0, daarmee zorg je ervoor dat je oplossing vindt, waarbij de afstand tot de oorsprong altijd gelijk blijft! --> dat lijkt op een cirkel, nietwaar?

Let op: het gaat om een limiet cirkel (zo noem ik 'm nu maar even) en niet limietcykels in het algemeen (dat hoeven geen cirkels te zijn).

We stellen dr/dt = 0, dus volgt r = 1. Dan is de limietcirkel de oplossing met r = 1.
Om de rest van het faseplaatje te bepalen, kijk je naar wat er gebeurt als r in (0,1). Dan dr/dt > 0 *(als mijn gevonden opl klopt). Dus de oplossing gaat weg van de oorsprong, naar de "limiet"cirkel.

Als je dtheta/dt = .. hebt gevonden, weet je ook hoe de radiele voorplanting is, dus welke kant "je oplossing opdraait".

Hetzelfde doe je ook voor r>0. Lukt het om dtheta/dt te vinden en zo ja, om een faseplaatje te maken?


Hier heb je een plaatje, waarvan ik niet weet of de richting klopt (radieel), maar zoiets moet je krijgen

Dankjewel,
ik vind voor dtheta/dt =1. Dit betekent dan toch dat het linksomdraait?
Alleen op deze manier vind je dus alleen een limietcirkel, hoe zit het dan in het algemeen met limietcykels?
Is het een kwestie van een oplossing vinden voor de dv, en dan kijken of er iets van convergentie inzit?

#11

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 12:54

Dankjewel,
ik vind voor dtheta/dt =1. Dit betekent dan toch dat het linksomdraait?
Alleen op deze manier vind je dus alleen een limietcirkel, hoe zit het dan in het algemeen met limietcykels?
Is het een kwestie van een oplossing vinden voor de dv, en dan kijken of er iets van convergentie inzit?

Ja, linksom. (zowel aan de binnen als buitenkant dus, mijn plaatje klopt dus niet voor deze opgave).
Convergentie vinden is een mogelijkheid ja, zoals net gezien, maar dat is nogal specifiek. Er is veel kwalitatieve theorie over limietcykels in het x,y vlak (in meer dimensies wordt het heel lastig daar iets over te zeggen). Heb je een boek met differentiaalvergelijkingen? Zo ja, even zoeken naar poincare bendixon. Dat is een stelling die zegt:

We hebben dy/dt = f(x,y) en dx/dt = g(x,y)
Als x(t),y(t) een oplossing is van dat stelsel en binnen een gesloten gebied blijft dat geen evenwichtspunten bevat, dan moet de baan naar een periodieke curve spiraleren (convergeren).

Om periodiciteit aan te tonen kun je soms ook symmetrie in de x,y-as gebruiken samen met de existentie en eenduidigheidsstelling..

#12

VeerleT

    VeerleT


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 13:00

Echt heel fijn, nu kan ik ook de andere vragen oplossen! Wij hoeven voor ons tentamen inderdaad alleen maar limietcirkels te kunnen vinden.

Bedankt!

#13

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 13:13

Echt heel fijn, nu kan ik ook de andere vragen oplossen! Wij hoeven voor ons tentamen inderdaad alleen maar limietcirkels te kunnen vinden.

Bedankt!

Ah mooi, moeten jullie toevallig ook dingen rondom bifurcaties komen te beheersen?

#14

VeerleT

    VeerleT


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 13:22

Ah mooi, moeten jullie toevallig ook dingen rondom bifurcaties komen te beheersen?


Ik ben het nog niet tegengekomen :)

#15

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 13:27

Ik ben het nog niet tegengekomen :)

Ah ok laat dat maar zitten dan - dit voorbeeld is ook niet echt geschikt (vrij complex). Je kijkt dan naar hoe oplossingen veranderen als je ergens een parametertje tussen stopt -> leuk om eens te zien, brengt ook een hoop intuitie bij het oplossen van DVs in het algemeen. Maargoed, eerst poincare bendixon (en het tentamen) =)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures