Springen naar inhoud

Lijnintegraal (snijlijn van halve cilindermantel met 2 vlakken)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2012 - 18:52


Overdruk, gefeliciteerd !!
Deze topic is door de gebruikers van Wetenschapsforum genomineerd als


Geplaatste afbeelding HEERLIJK HUISWERKTOPIC




Opgave:

Het oppervlak S is het gedeelte van de cilinder met straal 2 met rotatieas
de y-as, waarbij z > 0 en dat begrensd is door de vlakken y = 2+z
en y = 1 + x.

a) Maak een schets van dit lichaam en geef een parametervoorstelling
b) Bereken rechtstreeks de lijnintegraal
LaTeX
Waarbij LaTeX

c) bepaal dezelfde integraal dmv de stelling van Stokes



a)

Ik denk dat ik een parametervoorstelling voor het oppervlak bepaald heb. Dit heb ik gedaan door gewoon de parametervoorstelling voor de cilinder te nemen en variabele grenzen te berekenen.

Ik kom uit op de parametervoorstelling:

LaTeX

met LaTeX
en LaTeX

Alfa is hier gewoon de zogezegde poolhoek in het xz-vlak.
Vervolgens heb ik berekend wat de z-waarde is voor een bepaalde alfa, en deze in 2 parametervoorstellingen gestopt voor de snijlijnen van elk van de vlakken met de halve cilindermantel. Zodanig dat ik per waarde van alfa een begin en eindwaarde krijg van de y-waarde. Indien ik dit plot in Maple, dan krijg ik iets dat juist lijkt (zie figuur)

oppervlak.jpg

b)

De lijnintegraal berekenen volgens de rand van het oppervlak splits ik op in 4 deelproblemen, de lijnintegraal langs de 2 rechte stukjes in het xy-vlak en de lijnintegraal langs de snijlijnen van de vlakken met de cilindermantel.

De lijnintegraal over de 2 rechte stukjes blijkt in beide gevallen nul te zijn?
Parametervoorstelling voor één stukje: (2,y,0) voor y van -2 tot +3.
Indien men dit afleidt en scalair vermenigvuldigt met F = (y,z,x²) krijgt men nul en is dus die scalaire integraal nul, analoog voor het andere rechte stukje.

De lijnintegraal over de snijlijnen heb ik in Maple berekend, omdat we op het examen Maple mogen gebruiken.
Heb de parametervoorstelling voor de 2 snijlijnen (gekozen parameter z) afgeleid en scalair vermenigvuldigd met de ingevulde parametervoorstelling in het vectorveld F:

maple_commandos.PNG

P1 en P2 zijn de parametervoorstellingen voor de snijlijnen, de rest is de uitwerking van de integraal.

Het antwoord zou 12 moeten zijn en ik kom dat dus niet uit... waar doe ik iets verkeerd? :/
Cogito ergo sum.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 januari 2012 - 16:48

Iemand die hier een handje kan toesteken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2012 - 17:31

Ik ken Maple niet maar er vallen me al een paar dingen op:
- Hoezo y van 2sin(a)-2 tot 2cos(a)+1? Dat laatste zal wel y = 1+x zijn voor de bovengrens (met x = 2cos(a)), maar waarom -2 als het andere vlak y = z+2 is?
- In je berekening in Maple kies je z als parameter; hoezo laat je z dan lopen van -2 tot 2? Er is gegeven dat het oppervlak voor z > 0 wordt beschouwd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2012 - 19:35

Voor een bepaalde waarde van alfa zit je dus op een bepaalde z-waarde en een bepaalde x-waarde... enkel y kan varieren. Ik bereken dan voor die bepaalde alfa de z-waarde corresponderend met die alfa:
LaTeX

De parameter die ik voor de twee snijlijnen kies is inderdaad z en met deze parameter bekom ik volgende parametervoorstelling:

LaTeX
LaTeX

De eerste lijn haal ik uit de vergelijking van het vlak LaTeX en de vgl van de cilinder.
De tweede lijn haal ik uit de vergelijking van het vlak LaTeX en de vgl van de cilinder.

De eerste lijn licht dichtst bij de y-as dus ik begin van daar voor de grenzen van mijn y.

Ik heb dus voor een bepaalde alfa een bepaalde z en een bepaalde x ... ik moet nu enkel mijn y laten varieren van de eerste snijlijn tot de tweede. Met andere woorden mijn grenzen:

LaTeX
en met LaTeX , krijg je dan
LaTeX


Wat betreft de z van -2 tot 2 ... Geen idee ... ik vind het zelf raar... maar als ik in Maple een plot genereer van 0 tot 2 dan krijg ik dit:

van0.jpg

en van -2 tot 2 dit:

van_2.jpg


Ik veronderstel dat het ergens een fout is in Maple (?) ... want eigenlijk met die wortel bij de x-waarde in mijn parametervoorstelling kan je die andere helft niet bekomen? En toch doet hij het ... hmm.


EDIT:
Ah ... damn ... die -2 moet inderdaad +2 zijn ... ik was bezig met het vlak y = z-2... >.<

Veranderd door Overdruk, 05 januari 2012 - 19:37

Cogito ergo sum.

#5

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2012 - 19:54

Oké, ik heb nu geintegreerd over de snijlijnen door 2 delen van de kromme te beschouwen... één met positieve en één met negatieve wortel..

Dit geeft mij LaTeX voor de integraal over de eerste lijn met (positieve x)
en LaTeX met negatieve x.

Dan LaTeX voor 2e lijn met positieve x en LaTeX voor met negatieve x...

De bijdrage van de 2 snijlijnen voor de lijnintegraal is dan :

LaTeX (of net het omgekeerde teken, afh van de zin doorlopen...

Dat is dan LaTeX ...

Klopt het dat de bijdragen over de rechte lijnen nul zijn? Of heb ik me daar vergist...
Als ik me daar niet vergist heb, dan zit er in het bovenstaande ook een fout, want het antwoord is 12. :/
Cogito ergo sum.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 16:05

Als het y = z+2 moet zijn, dan vrees ik dat je in de y-richting ook twee gevallen zal moeten onderscheiden want dan ligt het ene vlak niet steeds 'boven' het andere, binnen het integratiegebied. Voor y = z-2 lijkt me dat wel het geval. Controleer je de opgave eens?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 00:55

Zucht ... nee het moet dus y = z-2 zijn...

Maar als ik het nu op dezelfde methode bereken dan komt het nog steeds geen 12 uit.. maar 4+2pi...

De lijnintegraal over de rechte stukken in het xy vlak is toch nul he?
Cogito ergo sum.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 januari 2012 - 14:04

Oké, met dat vlak vind ik ook 12. De lijnintegralen over de twee rechte stukken in het xy-vlak zijn inderdaad 0. Maar z wordt nooit negatief, dus je grenzen (z van -2 tot 2) kunnen niet kloppen. Bij begin- en eindpunt van die krommen is de z-coördinaat 0... Je kan misschien beter x als parameter kiezen, die loopt in beide gevallen van -2 tot 2 (of omgekeerd, afhankelijk van de doorloopzin).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 17:57

Ja, ik kom het nu ook uit... bedankt voor de feedback :).
Cogito ergo sum.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 januari 2012 - 13:35

Oké, prima! Verifiëren met Stokes is ook gelukt? Graag gedaan in elk geval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures