Equispectrale jordanmatrix bepalen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Equispectrale jordanmatrix bepalen

Hallo,

Stel dat volgende matrix gegeven is:
\(T=\left (\begin{array}{ccc} 1&-2&-1 \\ -5&1&1 \\ 14&1&-2 \end{array} \right)\)
Deze heeft als karakteristieke polynoom:
\(-\lambda^3+8=0\)
Dus ik heb een eigenwaarde
\(\lambda=2\)
met algebraiesche multipliciteit 3.

Bij bepaling van de eigenruimte van deze eigenwaarde bekom ik een geometrische multiplictiet 1 en dus:
\(\left\{k\left (\begin{array}{ccc} 1\\-2\\3 \end{array}\right)|k \in \mathbb{R}\right\}\)
Dit klopt allemaal (volgens de prof), nu zegt hij echter dat er geen equispectrale jordanmatrix is. Waarom niet?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Wat is de definitie van een equispectrale Jordanmatrix?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Wat is de definitie van een equispectrale Jordanmatrix?
\(T'=STS^{-1}\)
Waarbij
\(T'\)
de equispectrale Jordanmatrix is,
\(T\)
de originele matrix is waarvan ik de eigenwaarde en eigenvectoren van heb bepaald en
\(S\)
de matrix van eigenvectoren.

Ik veronderstel dus dat er geen matrix van eigenvectoren is (maar waarom?).

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Wanneer is er een basis van eigenvectoren?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Wanneer is er een basis van eigenvectoren?


Wanneer de matrix (die bestaat uit de eigenwaarden) een diagonaalmatrix is met de eigenwaarden op de diagonaal.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Ja okee... Maar je hebt toch nog andere manieren gezien? Het is iets met je multipliciteiten ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Ja okee... Maar je hebt toch nog andere manieren gezien? Het is iets met je multipliciteiten ;) .
Volgens mij als de algebraiesche mutliplicteit = geometrische multiplicteit voor elke eigenwaarde.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

En is dat hier?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

En is dat hier?
Nee. Echter staan er in de cursus voorbeelden waarbij ge bijvoorbeeld een eigenwaarde hebt met algebraiesche mutlipliciteit 3 en geometrische multiplicteit 1 en waarbij het wel mogelijk is. Hierbij maakt de prof gebruik van de 'veralgemeende eigenwaarde en eigenvector'.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Nog nooit van gehoord... Kun je zo'n voorbeeld scannen/geven?

PS: wat is de betekenis van 'equispectraal' in deze? Wat voor vorm heeft zo'n matrix?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Drieske schreef:Nog nooit van gehoord... Kun je zo'n voorbeeld scannen/geven?

PS: wat is de betekenis van 'equispectraal' in deze? Wat voor vorm heeft zo'n matrix?
Ik had er zelf ook nog nooit van gehoord (dit komt uit een cursus 1ste bach bio-ingenieur). Ik zal een voorbeeld geven.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Ik had er zelf ook nog nooit van gehoord (dit komt uit een cursus 1ste bach bio-ingenieur). Ik zal een voorbeeld geven (rechtstreeks uit die cursus).

Stel de matrix
\(T=\left(\begin{array}{ccc} -12&4&-9 \\ 4&-5&4 \\11&-5&8 \end{array} \right)\)
De karakteristieke polynoom is:
\((\lambda+3)^3=0\)
en dus hebben we een driedubbele algebraiesche eigenwaarde -3. De eigenruimte is echter:
\(E_{-3}=\left( \begin{array}{ccc} x\\y\\z \end{array} \right)=k \left(\begin{array}{ccc} -1\\0\\1 \end{array} \right)\)
en dus slechts een geometrische mutlipliciteit 1. Op een veelvoud na wordt de enige eigenvector die we daar uit kunnen halen, gegeven door
\(e_1 \left(\begin{array} -1\\0\\1 \end{array}\right)\)
, die in de kern van de lineaire afbeelding
\(T+3\cdot E=\left( \begin{array}{ccc} -9&4&-9 \\ 4&-2&4 \\11&-5&11 \end{array} \right)\)
zit. Om een veralgemeende eigenvector te vinden berekenen we de kern van de afbeelding:
\(\left( \begin{array}{ccc} -9&4&-9 \\ 4&-2&4 \\11&-5&11 \end{array} \right)^2=\left( \begin{array}{ccc} -2&1&-2 \\ 0&0&0 \\2&-1&2 \end{array} \right)\)
zijnde
\(\left(\begin{array}{ccc} x\\y\\z \end{array} \right)=k\left(\begin{array}{ccc} 1\\2\\0 \end{array} \right)+l\left(\begin{array}{ccc} 0\\2\\1 \end{array} \right)\)
, en
\(\left( \begin{array}{ccc} -9&4&-9 \\ 4&-2&4 \\11&-5&11 \end{array} \right)^3=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end{array} \right)\)
waarvan de kern opnieuw de gehele ruimte
\(\mathbb{R}^3\)
is. Kiezen we een veralgemeende eigenvector
\(\left(\begin{array}{ccc} 0\\0\\1 \end{array} \right) \in \ker(T+3\cdot \lambda E)^3\)
dan is:
\(\left( \begin{array}{ccc} -9&4&-9 \\ 4&-2&4 \\11&-5&11 \end{array} \right)\left(\begin{array}{ccc} 0\\0\\1 \end{array} \right)=\left(\begin{array} -9 \\4\\11 \end{array} \right)\)
enz ...

De equispectrale matrix wordt dus:
\(T'=\left(\begin{array}{ccc} -2&-9&0 \\ 0&4&0 \\ 2&11&1 \end{array} \right)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Ik snap hier zelf niets van ...

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Equispectrale jordanmatrix bepalen

Voor mij ook nog... Als ik wat meer tijd heb, zal ik het eens nader bekijken. Op internet vind je alvast veel info ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer