\(\epsilon_0\)
, de eerste aangeslagen toestand met energie \(\epsilon_1\)
en de tweede met energie \(\epsilon_2\)
. Het deeltje is in thermisch evenwicht met een warmtebad op temperatuur T. Er geldt \(\epsilon_0 < \epsilon_1 < \epsilon_2\)
.a) Bereken de kanonieke partitiesom van dit deeltje[/i]
\(Z(\beta) = e^{- \beta \epsilon_0} + e^{- \beta \epsilon_1} + e^{- \beta \epsilon_2} \)
Dat is alles toch?b) Geef de waarschijnlijkheden dat het deeltje in toestand j zit voor j = 0, 1, 2.
Voor de Boltzmann distributie geldt
\(\frac{e^{- E_r/(k_B T)}}{\sum_i e^{-E_i/(k_B T)}}\)
, dus:\(P(0) = \frac{e^{- \beta \epsilon_0}}{Z(\beta)}\)
\(P(1) = \frac{e^{- \beta \epsilon_1}}{Z(\beta)}\)
\(P(2) = \frac{e^{- \beta \epsilon_2}}{Z(\beta)}\)
Het boek praat over systemen, maar ik heb hier een enkel deeltje. Mag ik dan de Boltzmann distributie wel gebruiken?c) Geef op basis van fysische argumenten of bovenstaande resultaten de gemiddelde energie in de lage en hoge T limiet.
\(\begin{align}\langle E \rangle &= \epsilon_0 \cdot P(0) + \epsilon_1 \cdot P(1) + \epsilon_2 \cdot P(2) \\&= \frac{\epsilon_0 e^{- \beta \epsilon_0} + \epsilon_1 e^{- \beta \epsilon_1} + \epsilon_2 e^{- \beta \epsilon_2}}{e^{- \beta \epsilon_0} + e^{- \beta \epsilon_1} + e^{- \beta \epsilon_2}} \\&= \frac{\epsilon_0}{1 + e^{(\epsilon_0 - \epsilon_1)\beta} + e^{(\epsilon_0 - \epsilon_2)\beta}} + ...\end{align}\)
Kom ik hiermee in de juiste buurt om een antwoord te krijgen of moet ik het anders aanpakken?
