Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 4

Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

Hallo,

Kan iemand mij een handje helpen, ik moet namelijk de arbeid berekenen op een kracht F(x,y,z)=(x+y,xy,-z²) en deze kracht werkt op een deeltje die beweegt langs een lijnstuk van (0,0,0) tot (1,3,1) en vervolgens op een ander lijnstuk (1,3,1) tot (2,-1,4).

Ik weet hoe ik het moet doen voor een lijnintegraal met 2 coördinaten maar niet hoe ik het moet doen met 3, en hoe zit dit dan met de lijnstukken?

met dank

Arbo1

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

Verplaatst naar huiswerk.

Weet je hoe je van de lijnstukken een parametervoorstelling opstelt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 4

Re: Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

TD schreef:Verplaatst naar huiswerk.

Weet je hoe je van de lijnstukken een parametervoorstelling opstelt?
Ja is dat niet voor het eerste lijnstuk v(x,y,z)= (0,0,0) + t*(1,3,1) en tweede lijnstuk w(x,y,z)=(1,3,1) + u*(1,-4,3)?

grtz

Arbo1

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

Oké, dat ziet er goed uit. Die parametervoorstellingen zijn natuurlijk 'functie van t' (of u, de parameter), schrijf bijvoorbeeld vectorieel: w(t) = (1+t,3-4t,1+3t).

Nu kan je de lijnintegraal van een vectorveld F over een kromme met parametrisatie r(t) als volgt berekenen:
\(\int_{t_0}^{t_1} \vec F\left( \vec r (t) \right) \cdot {\vec r}\,^\prime(t) \, \mbox{d}t\)
Deze formule zou je dan toch gezien moeten hebben? Hierin zijn t0 en t1 de waarden zodat r precies het bedoelde lijnstuk doorloopt.

Je integreert dus het scalair product van het vectorveld, geëvalueerd in de parametrisatie, met de afgeleide vector van de parametrisatie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 4

Re: Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

TD schreef:Oké, dat ziet er goed uit. Die parametervoorstellingen zijn natuurlijk 'functie van t' (of u, de parameter), schrijf bijvoorbeeld vectorieel: w(t) = (1+t,3-4t,1+3t).

Nu kan je de lijnintegraal van een vectorveld F over een kromme met parametrisatie r(t) als volgt berekenen:
\(\int_{t_0}^{t_1} \vec F\left( \vec r (t) \right) \cdot {\vec r}\,^\prime(t) \, \mbox{d}t\)
Deze formule zou je dan toch gezien moeten hebben? Hierin zijn t0 en t1 de waarden zodat r precies het bedoelde lijnstuk doorloopt.

Je integreert dus het scalair product van het vectorveld, geëvalueerd in de parametrisatie, met de afgeleide vector van de parametrisatie.
Ik heb deze formule inderdaad gezien, even ter verduidelijking is je r nu in dit geval niet je w?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

Ja, ik heb hier voor de algemeenheid hier met een vectorveld F en paramatrisatie r geschreven. In jouw geval zal je twee integralen moeten berekenen, namelijk over elk lijnstuk: de eerste met je parametrisatie v en de tweede met w.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 4

Re: Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

Ja, ik heb hier voor de algemeenheid hier met een vectorveld F en paramatrisatie r geschreven. In jouw geval zal je twee integralen moeten berekenen, namelijk over elk lijnstuk: de eerste met je parametrisatie v en de tweede met w.


Ok merci voor de snelle hulp.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Arbeid op een vectorveld m.b.v. lijnintegralen

Graag gedaan; succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer