Springen naar inhoud

Lineaire afbeelding inproductruimte die inproductbehoudend is


  • Log in om te kunnen reageren

#1

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 11:54

Beste mensen van het wetenschapsforum,

Wij zijn twee studenten die bezig zijn met het vak lineaire analyse. Voor dit vak moeten we een bonus opdracht doen.
Wij zitten compleet vast bij ťťn opgave.

Zij A : X -> X een lineaire afbeelding op een inproductruimte X met norm ||x|| =
sqrt<x, x> . Laat zien dat de afbeelding normbehoudend is,
||A(x)|| = ||x|| voor alle x in X
dan-en-slechts-dan als de afbeelding inproductbehoudend is,
<A(x), A(y)> = <x, y> voor alle x en y in X:
Die hint die erbij zat is gebruik te maken van de parallellogram wet.

Wij vragen niet om het op te lossen maar meer een tip of aanwijzing.

Dank u wel!

mvg,
2 wanhopige studenten

Veranderd door piet klaassen, 06 januari 2012 - 11:54


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 januari 2012 - 11:56

Ken je de parallellogramwet? Schrijf dan alvast deze eens op ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 12:02

Ja die kennen wij, dat is 2(||x||^2 + ||y||^2) = ||x-y||^2 + ||x+y||^2. Dit kan dan worden geschreven als:
<x,y> = 0.25(||x+y||^2 - ||x-y||^2)

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 januari 2012 - 12:05

Inderdaad. Stel nu dat je weet: ||Ax|| = ||x|| voor alle x. Enig idee hoe je deze wet dan kunt gebruiken?

Voor de andere richting: <Ax, Ay> = <x, y> voor alle x en y. Dus ook voor y=...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 12:38

okay dit is wat wij hebben:
||x +y||^2 - ||x-y||^2
= ||A(x) + A(y)||^2 - ||A(x) - A(y)||^2
= <A(x)+A(y),A(x)+A(y)> - <A(x)-A(y),A(x)-A(y)>
= <A(x),A(x)+A(y)> + <A(y), A(x)+A(y) - <A(x),A(x)-A(y)> -<A(y), A(x)-A(y)
= 4<A(x),A(y)> = 4<x,y>

Dus is hiermee dan bewezen dat de norm alleen wordt behouden als het inproduct hetzelfde blijft?
en voor die andere richting kan je y toch gelijk maken aan x en dan krijg je toch de norm van ||x||?

Veranderd door piet klaassen, 06 januari 2012 - 12:41


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 januari 2012 - 13:17

Het idee klopt. Alleen kun je dat wel beter/mooier neerschrijven.

Dus is hiermee dan bewezen dat de norm alleen wordt behouden als het inproduct hetzelfde blijft?

Niet alleen. Wel dat de norm behouden blijft als het inproduct behouden blijft.

Voor de andere richting: y=x is inderdaad een goede keus. Je krijgt wel niet de norm, maar het kwadraat van de norm. Waarom? Maakt dat uit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 13:51

dank u wel voor u antwoord.
Wij denken dat het niet veel uitmaakt want,
de norm is gedefinieerd als sqrt(<x,x>) = ||x||.

Kunt u misschien een goede website aanraden met uitleg over dit vak?
Het abstracte niveau vinden wij best moeilijk te begrijpen en het dictaat helpt ook niet echt.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 januari 2012 - 13:58

Ik kan natuurlijk onmogelijk van hieruit weten wat er in jullie cursus gezien wordt ;). Wat je sowieso kunt doen, is: Google op begrippen die je niet begrijpt, waarschijnlijk vind je wel iets. En natuurlijk: post je vragen hier :). Als iemand kan helpen, komt die hulp ook wel.

Verder: het maakt inderdaad niet uit, maar jouw uitleg vind ik iets te matig. Je vindt dus: ||Ax||≤ = ||x||≤ voor alle x. Bijgevolg is ||Ax|| = -||x|| of ||Ax|| = ||x|| voor alle x. Omdat de norm echter positief is per definitie, kan enkel ||Ax|| = ||x|| juist zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures