Springen naar inhoud

Holomorfe functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:00

Naamloos.jpg

Een complexe functie f(z=x+iy) is holomorf als (dx+idy)f = 0 in een open gebied. Volgens de stelling van Cauchy is de integraal van f(z)dz langs elke gesloten kromme C gelijk aan 0 als f holomorf is en C in een open enkelvoudig samenhangend gebied ligt.

Ik zie niet in waarom in bovenstaande oefening de integraal niet 0 is voor m=-1, kan iemand helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:08

Heb je de integraal al eens berekend voor m = -1? Dat kan vrij eenvoudig. Of geef anders de redenering waarom je denkt dat het toch 0 is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:16

De integraal berekenen kan ik, maar ik weet niet welke voorwaarde niet voldaan is van de stelling. Volgens mij is 1/z toch holomorf, of niet?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:19

Over het hele inwendige van de kromme waarover je integreert?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:23

Het is toch niet het inwendige van de kromme waar de functie holomorf moet zijn maar enkel over de kromme zelf?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:25

Klopt, ik verwoord het anders (beter): waaraan moet het gebied voldoen waarbinnen de kromme ligt? Is dat hier het geval?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:35

De kromme moet in een enkelvoudig samenhangend gebied liggen waar f holomorf is, volgens mij is f holomorf in R≤ zonder (0,0) omdat enkel in (0,0) de afgeleide van 1/z niet bestaat.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:37

Is C\{0} (R≤ is een beetje vreemd in deze context...) een enkelvoudig samenhangend gebied?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:41

Nee, maar dan is dit voor 1/z≤ toch ook niet zo? Is het dan 'toeval' dat alle lagere machten wel 0 zijn, terwijl ze niet aan de stelling voldoen?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:42

Nee, maar dan is dit voor 1/z≤ toch ook niet zo?

Klopt, maar daar gaat het dus wel mis als je gewoon die stelling wil toepassen.

Is het dan 'toeval' dat alle lagere machten wel 0 zijn, terwijl ze niet aan de stelling voldoen?

'Toeval' is wat vreemd gekozen ;). Het feit dat je de stelling niet zomaar kan toepassen, betekent natuurlijk niet dat die integralen (voor andere machten) niet 0 kunnen zijn. Geef eens een primitieve van zn over C\{0}.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:44

1/(n+1)*z^(n+1)

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:46

Juist en dat is een geschikte primitieve voor alle n, behalve...

Voor n verschillend van -1 volgt dan onmiddellijk het resultaat met de hoofdstelling: voor eender welk pad dat 0 niet bevat kan je zo de lijnintegraal aan de hand van deze primitieve uitrekenen en je vindt dus 0 bij een gesloten kromme. Maar dit is geen primitieve in het geval n = -1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

stinne 3

    stinne 3


  • >250 berichten
  • 291 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:50

ok bedankt!

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2012 - 17:53

Graag gedaan.

Terzijde: je hebt hiermee eigenlijk iets interessants 'aangetoond'. De functie f(z) = 1/z is, zoals je zelf al zei, wel holomorf op C\{0}, maar heeft er geen primitieve! Als f een primitieve zou hebben, zou de integraal op basis van dezelfde redenering (hoofdstelling) immers 0 moeten zijn en dat is niet zo. Een directe berekening (eenvoudige parametrisatie) levert dat de integraal LaTeX is, zoals in je opgave stond.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures