Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 84

Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Hoi,

Op een examen lineaire algebra werd het volgende gevraagd: Zij
\(A : \mathbb{R}^2 -> \mathbb{R}^2\)
een transformatie van het vlak die elk punt loodrecht spiegelt ten opzichte van een rechte
\(y=ax+b\)
met
\(a,b \in \mathbb{R}\)
Ga na voor welke waarden van a,b de afbeelding A lineair is.

Ik weet niet goed hoe ik de afbeeldingsmatrix A moet opstellen. Als ik de coördinaten van een spiegeling rond een rechte bereken, ga ik eerst de vergelijking van een rechte loodrecht op die rechte berekenen, en vervolgens de formule van het middelpunt gebruiken.

Kan iemand mij op weg helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Op wat beeldt een lineaire afbeelding de nulvector af? Wat weet je dan alvast?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

De nulvector wordt door een lineaire afbeelding afgebeeld op 0.

In geval van
\(\mathbb{R}^2\)
geldt
\(L(0,0) = (0,0)\)
Volgens mij weet je dan dat de afbeelding
\(L: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^2 : (x,y) \to (x+y,x+y)\)
want als x en y dan beide 0 zijn, is de afbeelding 0.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Hmm, je denkt te moeilijk (en je uitleg vind ik wat vaag). 0 wordt inderdaad afgebeeld op 0. Wat weet je dan over b? Stel het je gewoon even visueel voor...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Ik voel aan dat je wil zeggen dat b gelijk moet zijn aan 0, omdat je anders nooit 0 als resultaat kan krijgen van de vergelijking
\(y=ax+b\)


Maar dan nog begrijp ik niet goed hoe je aan een voorschrift voor de lineaire afbeelding kan komen? Het is toch de spiegeling die we moeten representeren, en niet gewoon het voorschrift y = ax+b?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Maar nu is het toch 'makkelijk'? Wat is spiegelen rond de rechte y = ax? Doe eventueel eerst een paar specifieke gevallen. a=1, a=-1, ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Als ik bijvoorbeeld punt (1,1) spiegel rond rechte y=3x, dan ga ik weer een rechte trekken loodrecht op y=3x, die dus als vergelijking y=-1/3x heeft. Dan weer de formule van het midden gebruiken en dan kom ik uit op (-0.2,1.4).

Het is waarschijnlijk heel eenvoudig, maar ik zie niet hoe je dit in een echte formule kan gieten.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Kun je geen operaties (met rotaties) bedenken die je naar een geval brengen dat je wél kent?

PS: merk wel op dat dit niet nodig is voor de voorwaarden op a en b te bepalen... Niettegenstaande is het een goede oefening :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Blijkbaar kan je de coördinaten ook bepalen met een rotatie als je de hoek kent. En de hoek is dan de inverse tangens van de rico (in bovenstaand geval 3).
\(x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\)
\(y'&=x\sin\theta+y\cos\theta\)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

De hoek bepalen is niet de moeilijkheid hè... Immers ken je a. En dan kun je de hoek berekenen. Maar ik heb het gevoel dat je te zeer naar formules wilt grijpen. Laat je intuïtie spreken: je wilt spiegelen rond een rechte. Maar je vindt dat moeilijk om algemeen te vatten (wat ik snap). Werk dan terug naar makkelijke gevallen. Wat is een makkelijk geval?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Een gemakkelijk geval zou a=1 en b=0 zijn. Dan is
\((x,y) \ to (y,x)\)
. Wat betreft de vraag voor welke a en b de afbeelding lineair is. Klopt het dat dit
\( a \in \mathbb{R} \)
is en
\(b=0\)
?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Wat betreft de vraag voor welke a en b de afbeelding lineair is. Klopt het dat dit
\( a \in \mathbb{R} \)
is en
\(b=0\)
?
Dat klopt :) .

En een makkelijk geval: spiegelen rond de x-as lijkt me vrij simpel?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Rond de x-as spiegelen is natuurlijk ook eenvoudig inderdaad. Maar ik wou specifiek een geval met a>0 bekijken.

Verder verbaast het me wel dat we een dergelijke lineaire afbeeldingen zouden moeten gebruiken. Er wordt tenslotte ook nog gevraagd om de eigenwaarde en eigenruimtes te berekenen, en mits er cosinussen en sinussen bij te pas komen is dit al redelijk complex.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Het is totaal niet complex. Maar je staart je blind op foute zaken. Je moet echt rustiger, en vooral helderder, naar de zaak kijken. Ik zeg niet dat dat het geval is dat je gaat bekijken. Dat is het geval waar je naar toe gaat werken. Hoe? Via rotaties, die je nadien ongedaan maakt. Snap je wat ik bedoel?

Ik zou zeggen: pak eens een blad en teken wat ik je zeg en overtuig dat het werkt. (En maak je geen zorgen over die hoek; die ken je.)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 84

Re: Afbeelding van transformatie die punt spiegelt om rechte

Hmm, blijkbaar geeft onderstaande matrix enkel de rotatie over een bepaalde hoek, en is het dus niet de totale spiegeling om de rechte.
\(\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)
Ik begrijp niet goed waar je naartoe wil. Ik heb reeds vele tekeningen gemaakt om de spiegeling van een punt om een rechte weer te geven. Bedoel je dat je de spiegeling kan opsplitsen in twee rotaties?

Reageer