Springen naar inhoud

Convergentie van een integraal aantonen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 11:38

Hallo,

Ik moet aantonen dat volgende integraal convergeert:
LaTeX

Ik heb alleen de quotientregel en majorantenregel gezien.

Het eerste wat ik zou doen is een afschatting maken van de integrand, nl:
LaTeX

Nu geldt:
LaTeX

En dus:
Vermits deze laatste integraal convergeert naar LaTeX (voor de bijhorende integratiegrenzen) zal volgens de majorantentregel ook LaTeX convergeren.

Is dit een goed bewijs?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 januari 2012 - 11:52

Mij lijkt dit alvast een correct methode te zijn.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#3

hanzwan

    hanzwan


  • >100 berichten
  • 132 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 12:14

Ja , echter je hebt nu aangetoond dat voor alle T groter dan 1 deze integraal convergeert. Wat als T kleiner is dan 1?

#4

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 12:31

Ja , echter je hebt nu aangetoond dat voor alle T groter dan 1 deze integraal convergeert. Wat als T kleiner is dan 1?

LaTeX
Dit kan omdat b != 0. Klopt deze afschatting dan?

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 januari 2012 - 14:31

Dat is inderdaad een goede afschatting. Maar niet noodzakelijk. Je kunt het ook anders oplossen. Maar vooraleer dat prijs te geven, zal ik op TS wachten :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 14:56

LaTeX


Dit kan omdat b != 0. Klopt deze afschatting dan?


Bedankt! Volgens de majorantenregel is er nu inderdaad convergentie.

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:03

Zoals ik al eerder aanhaalde, werkt dit uiteraard. Echter, jouw afschatting werkte ook, omdat natuurlijk een functie, continu op een (gesloten) begrensd interval, een eindige integraal heeft. En dat was hier het geval.

Zie je waarom de continu´teit belangrijk is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:07

Zoals ik al eerder aanhaalde, werkt dit uiteraard. Echter, jouw afschatting werkte ook, omdat natuurlijk een functie, continu op een begrensd interval, een eindige integraal heeft. En dat was hier het geval.

Zie je waarom de continu´teit belangrijk is?

Als er continuiteit is dan is er ook integreerbaarheid, dat lijkt mij het belang :).

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:09

Okee, op zich is het niet de continu´tiet die belangrijk is, maar goed, je hebt ook gelijk :). Het is vooral dat je weet dat een continue functie op een gesloten begrensd interval, zelf ook begrensd is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:17

Okee, op zich is het niet de continu´tiet die belangrijk is, maar goed, je hebt ook gelijk :). Het is vooral dat je weet dat een continue functie op een begrensd interval, zelf ook begrensd is.

Is dat zo? Waar zit de denkfout die ik dan maak met bijv f:R\{0}->R gegeven door f(x) = 1/x ?
Als ik een begrensd interval neem bijv (0,1], dan is f toch niet begrensd, maar wel continu?

Een aanvullende eis zal dan wel zijn dat het om een gesloten interval moet gaan?

Veranderd door Axioma91, 07 januari 2012 - 15:24


#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:25

Dat bedoelde inderdaad (van dat gesloten), maar had ik beter expliciet vermeld... Dat is inderdaad een belangrijke aanvulling. Nuja, in dit geval volstond (gelukkig) de continuiteit al.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 23:27

Bedankt! Bij het aantonen van convergentie heb ik nooit aan dit soort handige "trucjes" gedacht - dat zal nog goed van pas komen





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures