Convergentie van een integraal aantonen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Convergentie van een integraal aantonen

Hallo,

Ik moet aantonen dat volgende integraal convergeert:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2} \cos(wt)dt \qquad (b \neq 0)\)
Ik heb alleen de quotientregel en majorantenregel gezien.

Het eerste wat ik zou doen is een afschatting maken van de integrand, nl:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\cos(wt)dt \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}dt\)
Nu geldt:
\(\forall t\geq 1: 0<\frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\leq e^{-t^2}}\)
En dus:

Vermits deze laatste integraal convergeert naar
\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
(voor de bijhorende integratiegrenzen) zal volgens de majorantentregel ook
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}dt\)
convergeren.

Is dit een goed bewijs?

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Mij lijkt dit alvast een correct methode te zijn.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 132

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Ja , echter je hebt nu aangetoond dat voor alle T groter dan 1 deze integraal convergeert. Wat als T kleiner is dan 1?

Berichten: 264

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Ja , echter je hebt nu aangetoond dat voor alle T groter dan 1 deze integraal convergeert. Wat als T kleiner is dan 1?
\(\forall t\geq 0: 0<\frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\leq \frac{e^{-t^2}}{b^2}}\)
Dit kan omdat b != 0. Klopt deze afschatting dan?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Dat is inderdaad een goede afschatting. Maar niet noodzakelijk. Je kunt het ook anders oplossen. Maar vooraleer dat prijs te geven, zal ik op TS wachten :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Axioma91 schreef:
\(\forall t\geq 0: 0<\frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\leq \frac{e^{-t^2}}{b^2}}\)
Dit kan omdat b != 0. Klopt deze afschatting dan?


Bedankt! Volgens de majorantenregel is er nu inderdaad convergentie.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Zoals ik al eerder aanhaalde, werkt dit uiteraard. Echter, jouw afschatting werkte ook, omdat natuurlijk een functie, continu op een (gesloten) begrensd interval, een eindige integraal heeft. En dat was hier het geval.

Zie je waarom de continuïteit belangrijk is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Drieske schreef:Zoals ik al eerder aanhaalde, werkt dit uiteraard. Echter, jouw afschatting werkte ook, omdat natuurlijk een functie, continu op een begrensd interval, een eindige integraal heeft. En dat was hier het geval.

Zie je waarom de continuïteit belangrijk is?
Als er continuiteit is dan is er ook integreerbaarheid, dat lijkt mij het belang :) .

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Okee, op zich is het niet de continuïtiet die belangrijk is, maar goed, je hebt ook gelijk :) . Het is vooral dat je weet dat een continue functie op een gesloten begrensd interval, zelf ook begrensd is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 264

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Okee, op zich is het niet de continuïtiet die belangrijk is, maar goed, je hebt ook gelijk :) . Het is vooral dat je weet dat een continue functie op een begrensd interval, zelf ook begrensd is.
Is dat zo? Waar zit de denkfout die ik dan maak met bijv f:R\{0}->R gegeven door f(x) = 1/x ?

Als ik een begrensd interval neem bijv (0,1], dan is f toch niet begrensd, maar wel continu?

Een aanvullende eis zal dan wel zijn dat het om een gesloten interval moet gaan?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Dat bedoelde inderdaad (van dat gesloten), maar had ik beter expliciet vermeld... Dat is inderdaad een belangrijke aanvulling. Nuja, in dit geval volstond (gelukkig) de continuiteit al.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 264

Re: Convergentie van een integraal aantonen

Bedankt! Bij het aantonen van convergentie heb ik nooit aan dit soort handige "trucjes" gedacht - dat zal nog goed van pas komen

Reageer