Pagina 1 van 1
Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 11:38
door Siron
Hallo,
Ik moet aantonen dat volgende integraal convergeert:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2} \cos(wt)dt \qquad (b \neq 0)\)
Ik heb alleen de quotientregel en majorantenregel gezien.
Het eerste wat ik zou doen is een afschatting maken van de integrand, nl:
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\cos(wt)dt \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}dt\)
Nu geldt:
\(\forall t\geq 1: 0<\frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\leq e^{-t^2}}\)
En dus:
Vermits deze laatste integraal convergeert naar
\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
(voor de bijhorende integratiegrenzen) zal volgens de majorantentregel ook
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}dt\)
convergeren.
Is dit een goed bewijs?
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 11:52
door jhnbk
Mij lijkt dit alvast een correct methode te zijn.
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 12:14
door hanzwan
Ja , echter je hebt nu aangetoond dat voor alle T groter dan 1 deze integraal convergeert. Wat als T kleiner is dan 1?
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 12:31
door Axioma91
Ja , echter je hebt nu aangetoond dat voor alle T groter dan 1 deze integraal convergeert. Wat als T kleiner is dan 1?
\(\forall t\geq 0: 0<\frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\leq \frac{e^{-t^2}}{b^2}}\)
Dit kan omdat b != 0. Klopt deze afschatting dan?
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 14:31
door Drieske
Dat is inderdaad een goede afschatting. Maar niet noodzakelijk. Je kunt het ook anders oplossen. Maar vooraleer dat prijs te geven, zal ik op TS wachten
.
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 14:56
door Siron
Axioma91 schreef:\(\forall t\geq 0: 0<\frac{e^{-t^2}}{t^2+b^2}\leq \frac{e^{-t^2}}{b^2}}\)
Dit kan omdat b != 0. Klopt deze afschatting dan?
Bedankt! Volgens de majorantenregel is er nu inderdaad convergentie.
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 15:03
door Drieske
Zoals ik al eerder aanhaalde, werkt dit uiteraard. Echter, jouw afschatting werkte ook, omdat natuurlijk een functie, continu op een (gesloten) begrensd interval, een eindige integraal heeft. En dat was hier het geval.
Zie je waarom de continuïteit belangrijk is?
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 15:07
door Siron
Drieske schreef:Zoals ik al eerder aanhaalde, werkt dit uiteraard. Echter, jouw afschatting werkte ook, omdat natuurlijk een functie, continu op een begrensd interval, een eindige integraal heeft. En dat was hier het geval.
Zie je waarom de continuïteit belangrijk is?
Als er continuiteit is dan is er ook integreerbaarheid, dat lijkt mij het belang
.
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 15:09
door Drieske
Okee, op zich is het niet de continuïtiet die belangrijk is, maar goed, je hebt ook gelijk
. Het is vooral dat je weet dat een continue functie op een
gesloten begrensd interval, zelf ook begrensd is.
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 15:17
door Axioma91
Okee, op zich is het niet de continuïtiet die belangrijk is, maar goed, je hebt ook gelijk
. Het is vooral dat je weet dat een continue functie op een begrensd interval, zelf ook begrensd is.
Is dat zo? Waar zit de denkfout die ik dan maak met bijv f:R\{0}->R gegeven door f(x) = 1/x ?
Als ik een begrensd interval neem bijv (0,1], dan is f toch niet begrensd, maar wel continu?
Een aanvullende eis zal dan wel zijn dat het om een gesloten interval moet gaan?
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 15:25
door Drieske
Dat bedoelde inderdaad (van dat gesloten), maar had ik beter expliciet vermeld... Dat is inderdaad een belangrijke aanvulling. Nuja, in dit geval volstond (gelukkig) de continuiteit al.
Re: Convergentie van een integraal aantonen
Geplaatst: za 07 jan 2012, 23:27
door Axioma91
Bedankt! Bij het aantonen van convergentie heb ik nooit aan dit soort handige "trucjes" gedacht - dat zal nog goed van pas komen
