Springen naar inhoud

Convergentiegebied bepalen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:06

Hallo,

Gevraagd is het volgende:
Toon aan de hand van de restterm van de cosinusreeks aan dat het convergentiegebied héél de verzameling van de Reele getallen is.

De restterm ziet er uit als:
LaTeX

En ik weet alleen dat LaTeX tussen 0 en x ligt.

Vermits de LaTeX -ste afgeleide zowizo een sinus of cosinus is kan ik de restterm afschatten als:
LaTeX

Er geldt nu:
LaTeX

Dit wil zeggen dat de maximale fout 0 is (dus er is geen fout) ... Moet ik hieruit concluderen dat het convergentiegebied héél de reele getallen is en waarom dan?

Als ik bijvoorbeeld de maclaurinreeks LaTeX neem, deze heeft convergentiegebied LaTeX . Hoe kan ik dit achterhalen dan?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:10

Dit wil zeggen dat de maximale fout 0 is (dus er is geen fout) ... Moet ik hieruit concluderen dat het convergentiegebied héél de reele getallen is en waarom dan?

Ja, de fout gaat immers naar 0 voor alle x.

Als ik bijvoorbeeld de maclaurinreeks LaTeX

neem, deze heeft convergentiegebied LaTeX . Hoe kan ik dit achterhalen dan?

Bijvoorbeeld met de verhoudingstest; de verhouding van twee opeenvolgende termen is x dus voor convergentie moet |x|<1 gelden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:22

Bijvoorbeeld met de verhoudingstest; de verhouding van twee opeenvolgende termen is x dus voor convergentie moet |x|<1 gelden.


Dus iets als:
LaTeX

Er is dus volgens d'Alembert test convergentie als:
LaTeX en divergentie als LaTeX

Klopt dit ongeveer?

Het probleem is dat we niets van d'Alembert's test hebben gezien, die ken ik nu gewoon uit interesse.

Veranderd door Siron, 07 januari 2012 - 15:23


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:34

Er is dus volgens d'Alembert test convergentie als:
Bericht bekijken

Het probleem is dat we niets van d'Alembert's test hebben gezien, die ken ik nu gewoon uit interesse.

Misschien kan je het ook op een andere manier tonen, ik weet niet wat jullie al gezien hebben. Je zegt dat je het convergentiegebied van deze reeks al kent, dus dat zal dan wel op een of andere manier afgeleid zijn...? Dit is natuurlijk 'gewoon' een meetkundige reeks, daarvan kende je het convergentiegedrag voorheen misschien al; zonder d'Alembert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2012 - 15:48

Misschien kan je het ook op een andere manier tonen, ik weet niet wat jullie al gezien hebben. Je zegt dat je het convergentiegebied van deze reeks al kent, dus dat zal dan wel op een of andere manier afgeleid zijn...? Dit is natuurlijk 'gewoon' een meetkundige reeks, daarvan kende je het convergentiegedrag voorheen misschien al; zonder d'Alembert.


Het is eigenlijk vreemd, onze cursus calculus bestaat uit de hoofdstukken: continutieit en limieten, afgeleiden, primitieven, bepaalde integralen, taylorreeksen en differentiaalvergelijkingen.

Die taylorreeksen komen er in voor zonder eigenlijk enige inleiding tot reeksen of machtreeksen e.d ... maar ik zal het houden op de d'Alembert test en als er expliciet gevraagd wordt om met de restterm te werken dan zal ik de limiet van de restterm bepalen en kijken naar de fout.

Bedankt voor de hulp TD! :)

Veranderd door Siron, 07 januari 2012 - 15:49


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 januari 2012 - 13:41

Oké, graag gedaan.

Het is moeilijk om zo'n cursus 'lineair op te bouwen' met gescheiden hoofdstukken, want je hebt regelmatig wat 'kruisbestuiving': concepten uit het ene hoofdstuk gebruiken in het andere, maar ook omgekeerd. Toch moet je iets eerst doen natuurlijk, dus het lukt niet altijd om dat elegant allemaal op te bouwen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures