Complexe integraal
Geplaatst: ma 09 jan 2012, 19:47
Hoi
Bij het studeren voor complexe analyse zit ik met een probleem.
Het probleem komt uit de sectie over de representatieformule van Cauchy.
ik zou de integraal
Ik heb hem rechtstreeks kunnen oplossen door de cosinus als som van 2 e-machten te schrijven. Allemaal goed.
Maar de opgave geeft expliciet aan dat ik de lijnintegraal
Er wordt ook nog een expliciete lus C gegeven die het beeld is van de rechthoek tussen 0, a, a+ib en ib waarbij a en b positieve reële getallen zijn.
Ik weet dat
Daardoor is de integraal dus gelijk aan 0.
Het probleem is dat ik niet zie hoe deze gegevens moet gebruiken om via de complexe integraal aan de reële te komen.
Verder op in de opgave komen de Fresnel integralen voor (sin(x^2), cos(x^2)). Daar gebruiken ze limieten, daardoor denk ik dat ik ergens de limiet voor a naar zal moeten nemen. Maar ik zie gewoon niet hoe.
Ik hoop dat ik de situatie min of meer duidelijk geschetst heb.
Bij het studeren voor complexe analyse zit ik met een probleem.
Het probleem komt uit de sectie over de representatieformule van Cauchy.
ik zou de integraal
\(\int_0^\infty e^{-x^2}\Cos(2bx)dx\)
moeten bepalen.Ik heb hem rechtstreeks kunnen oplossen door de cosinus als som van 2 e-machten te schrijven. Allemaal goed.
Maar de opgave geeft expliciet aan dat ik de lijnintegraal
\(\int_\sigma e^{-z^2}dz\)
moet bepalen en daarna gebruiken voor de reeële integraal. Hierbij is \(\sigma\)
eender welke lus in het complexe vlak.Er wordt ook nog een expliciete lus C gegeven die het beeld is van de rechthoek tussen 0, a, a+ib en ib waarbij a en b positieve reële getallen zijn.
Ik weet dat
\(e^{-z^2}\)
analytisch is in het volledige complexe vlak, dus is eender welke lus ook homotoop met een punt (dit heb ik wel niet expliciet bewezen, maar dat is vlot te doen).Daardoor is de integraal dus gelijk aan 0.
Het probleem is dat ik niet zie hoe deze gegevens moet gebruiken om via de complexe integraal aan de reële te komen.
Verder op in de opgave komen de Fresnel integralen voor (sin(x^2), cos(x^2)). Daar gebruiken ze limieten, daardoor denk ik dat ik ergens de limiet voor a naar zal moeten nemen. Maar ik zie gewoon niet hoe.
Ik hoop dat ik de situatie min of meer duidelijk geschetst heb.