Winkans spelletje

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 10-01-'12, 13:10

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Winkans spelletje

Stel je het volgende spel voor: Twee personen gooien om beurten kop of munt.

Persoon A wint wanneer hij 5 keer "kop" heeft gegooid.

Persoon B wint wanneer hij 7 keer "kop" heeft gegooid.

Hoe groot is de kans dat persoon B wint? Hoe bereken ik dat?

Nu iets vergelijkbaars. Persoon A gooit nu kop of munt. Persoon B gooit steeds met 2 munten en "scoort" wanneer hij tenminste 1 keer "kop" heeft (dus enkel 2 keer "munt" scoort niet). Hoe berekent men het dan voor willekeurige "doelscores"?
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 10-01-'12, 14:30

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Winkans spelletje

Hoe groot is de kans dat persoon B wint?
Weet je of het antwoord gelijk is aan:
\(\frac{9883}{59049} \approx 0.167\)
Omhoog

Bericht 10-01-'12, 18:54

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Winkans spelletje

Ik zie het niet een twee drie.

Tenzij er een truukje is loopt het via de negatief binomiale verdeling denk ik.

Oh het maakt duidelijk wie begint met gooien, neem aan dat dat A is?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 08:12

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Winkans spelletje

Niet als je telkens wacht om te evalueren tot beide personen hebben geworpen.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 08:22

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Winkans spelletje

De kans op het eerste vraagstuk is de kans dat op 7 beurten én persoon B 7 keer kop gooit en de som van de kansen dat persoon A 0,1,2,3,4 keer kop gooit).

Ik dacht dus aan:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^7 \cdot \sum_{i=0}^{4} C_7^i\)
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 08:26

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Winkans spelletje

Waarom op 7 beurten? Zoals de vraag daar staat, lijkt mij dat dat evengoed 10 beurten mogen zijn...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 08:40

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Winkans spelletje

Ja dat is waar. Hoeveel termen heeft die som dan?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 08:46

physicalattraction

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.094

Re: Winkans spelletje

P(B wint) = P(A minder dan 5 keer kop in 7 beurten)P(B minstens 7 keer kop in 7 beurten) + P(A minder dan 5 keer kop in 8 beurten)P(B minstens 7 keer kop in 8 beurten) + P(A minder dan 5 keer kop in 9 beurten)P(B minstens 7 keer kop in 9 beurten) + ...

Dit is een oneindige som, maar de kansen waarmee je rekent gaan wel naar 0 en ik vermoed (maar heb niet nagerekend) snel genoeg om de reeks te laten convergeren.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 08:59

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Winkans spelletje

Convergeren is voor mietjes. :) Mijn antwoord is exact.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 09:02

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Winkans spelletje

Dit is een oneindige som.
Bevestigt wat ik dacht, want als je die 7 gaat laten toenemen, wordt de kans steeds kleiner.
\(\sum_{j=7}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^j \cdot \sum_{i=0}^{4} C_j^i\)
Is toch even exact?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 09:10

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: Winkans spelletje

Ik had de vraag niet helemaal gespecificeerd. Het spelletje eindigt zodra een persoon zijn benodigde aantal heeft bereikt. Dan zijn er denk ik 2 winkansen?

Laten we anders zeggen dat de persoon die begint ook door kop of munt wordt bepaald, dus beide hebben een gelijke kans om te mogen beginnen.

@Evilbro, hoe kom je aan dit getal? Ik weet het antwoord zelf niet, maar kan wel een klein programma'tje schrijven om dit spelletje te simuleren als dat helpt.

Ik ben echter vooral geïnteresseerd in de berekening zelf :)
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 09:15

physicalattraction

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.094

Re: Winkans spelletje

Indien degene die begint ook door het toeval bepaald wordt, dan wordt de uitkomst volgens mij:
\(\frac{1}{2} \cdot \sum_{j=7}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^j \cdot \sum_{i=0}^{4} C_j^i + \frac{1}{2} \cdot \sum_{j=7}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^j \cdot \sum_{i=0}^{4} C_{j-1}^i\)
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 09:41

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Winkans spelletje

Laten we anders zeggen dat de persoon die begint ook door kop of munt wordt bepaald, dus beide hebben een gelijke kans om te mogen beginnen.
De kans die ik gaf is de kans die geldt als persoon A begint.
@Evilbro, hoe kom je aan dit getal?
De kans dat persoon A wint als hij aan de beurt is en de stand is (x,y) (x = score persoon A, y = score persoon B):
\(P_A(x,y)\)
De kans dat persoon B wint als hij aan de beurt is en de stand is (x,y) (x = score persoon A, y = score persoon B):
\(P_B(x,y)\)
Dan geldt dus:
\(P_A(x,y) = \frac{1}{2} \cdot (1 - P_B(x,y)) + \frac{1}{2} \cdot (1 - P_B(x+1,y)) = 1 - \frac{1}{2} \cdot (P_B(x,y) + P_B(x+1,y))\)
\(P_B(x,y) = 1 - \frac{1}{2} \cdot (P_A(x,y) + P_A(x,y+1))\)
dus:
\(P_A(x,y) = 1 - \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{2} \cdot (P_A(x,y) + P_A(x,y+1)) + 1 - \frac{1}{2} \cdot (P_A(x+1,y) + P_A(x+1,y+1)))\)
\( = \frac{1}{4} \cdot (P_A(x,y) + P_A(x,y+1) + P_A(x+1,y) + P_A(x+1,y+1))\)
\(P_A(x,y) = \frac{1}{3} \cdot (P_A(x,y+1) + P_A(x+1,y) + P_A(x+1,y+1))\)
Omdat je weet
\(P_A(5,?) = 1\)
en
\(P_A(<5,7) = 0\)
weet, kun je nu terugrekenen tot
\(P_A(0,0)\)
(Dit zou ik niet met de hand doen gezien het aantal states dat je hebt :) ).

Haskell:

Code: Selecteer alles

import Data.Ratio

p1 5 _ = 1%1

p1 _ 7 = 0%1

p1 a b = 1%3 * ((p1 a (b+1)) + (p1 (a+1) b) + (p1 (a+1) (b+1)))

antwoord = p1 0 0
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 18:38

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: Winkans spelletje

EvilBro schreef:Haskell:

Code: Selecteer alles

import Data.Ratio

p1 5 _ = 1%1

p1 _ 7 = 0%1

p1 a b = 1%3 * ((p1 a (b+1)) + (p1 (a+1) b) + (p1 (a+1) (b+1)))

antwoord = p1 0 0
Mooi! Ook mooi om te zien hoe charmant dit er in Haskell uitziet.

Maar volgens mij klopt dit niet. Stel dat ik
\(P_A(4,6)\)
zou willen uitrekenen, met andere woorden

Code: Selecteer alles

test = p1 4 6
Dit is dan gelijk aan:

Code: Selecteer alles

p1 4 6 = 1%3*((p1 4 7) + (p1 5 6) + (p1 5 7))
Volgens de code is

Code: Selecteer alles

p1 4 7 = 0

p1 5 6 = 1

p1 5 7 = 0
En dus p1 4 6 = 1/3

Maar p1 5 7 moet toch gelijk zijn aan 1? En p1 4 6 = 2/3 ?

Als A 5 scoort wint hij sowieso. In feite is de situatie p1 5 7 niet gedefinieerd.

Met andere woorden, moeten de regels

Code: Selecteer alles

p1 5 _ = 1

p1 _ 7 = 0
niet worden omgedraaid? Zo ja, maakt dit uit voor de uitkomst van het programma?
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 11-01-'12, 19:26

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Winkans spelletje

p1 5 7 = 0
Dit is onjuist. p1 5 x = 1 onafhankelijk van x.
Met andere woorden, moeten de regels

Code: Selecteer alles

p1 5 _ = 1

p1 _ 7 = 0
niet worden omgedraaid? Zo ja, maakt dit uit voor de uitkomst van het programma?
Ze moeten niet omgedraaid worden en ze wel omdraaien geeft een verkeerd programma (dan zou p1 5 7 = 0 gelden).
Omhoog
Reageer

Terug naar “Kansrekening en Statistiek”