Springen naar inhoud

Equiprobabele ellipsen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2012 - 13:43

Hoi!

Dit is eigenlijk wat ik zie bij het vak 'geografie', maar het onderwerp gaat evenzeer over statistiek, want het gaat over probability density functions.

Het gaat erover, wanneer je een multi-dimensionale ruimte hebt, en daarin heb je een bepaald aantal pixels, die behoren tot de klasse 'vegetatie' bv. Deze distributie vertoont een multi-normale distributie in deze ruimte. Dit kan beschreven worden een een probability density function.

In mijn cursus staat dan nog 'het plotten van de probability density function (PDF) op de multi-nrmale distributie, dan krijg je equi-probabele ellipsen'.

Ik heb moeite met het volgende:
-de multi normale distributie wordt geschreven door die PDF: akkoord
-de equiprobabele ellipsen ook .. klinkt mssn dom, maar dit zie ik niet.. waarom die ook beschreven wordt door die functie?

Bedankt :)
Liekeu x

Veranderd door Liekeu, 10 januari 2012 - 13:43


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 januari 2012 - 09:05

Ik snap niet helemaal wat je bedoelt als je zegt dat de equiprobabele ellipsen worden beschreven door dezelfde pdf, maar ik denk dat ze in het boek het volgende bedoelen. In het plaatje hieronder zie je de kansdichtheidsfunctie (pdf) van een tweedimensionale normaalverdeling. Wanneer je nu de doorsnede van deze functie met een horizontaal vlak bekijkt, worden dit ellipsen, zoals op de bodem met kleuren weergegeven. Elk punt (paar van X- en Y-coordinaat) heeft dezelfde kans(dichtheid), vandaar dat het een equiprobabele ellips heet.

Liekeu_Matlab.png
Matlab code waarmee ik de plot gemaakt heb:
clear all; close all;

X = linspace(-10,10);
Y = linspace(-10,10);
[XX,YY] = ndgrid(X,Y);

muX = 1; muY = 1;
sigmaX = 35; sigmaY = 25;

Z = 1/(sigmaX) * exp( -(XX-muX).^2./(2*sigmaX)^2 ) + ...
	1/(sigmaY) * exp( -(YY-muY).^2./(2*sigmaY)^2 );

p = surfc(X,Y,Z,'EdgeColor','none'); box on
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('pdf');
axis square

#3

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2012 - 15:47

Ik snap niet helemaal wat je bedoelt als je zegt dat de equiprobabele ellipsen worden beschreven door dezelfde pdf, maar ik denk dat ze in het boek het volgende bedoelen. In het plaatje hieronder zie je de kansdichtheidsfunctie (pdf) van een tweedimensionale normaalverdeling. Wanneer je nu de doorsnede van deze functie met een horizontaal vlak bekijkt, worden dit ellipsen, zoals op de bodem met kleuren weergegeven. Elk punt (paar van X- en Y-coordinaat) heeft dezelfde kans(dichtheid), vandaar dat het een equiprobabele ellips heet.


Hallo!
Sorry voor mn laat antwoord. Normaal krijg ik bericht bij reactie en nu niet :/.

Nou het is niet dat ik niet wéét wat een equiprobabele ellips is, het is eerder:
mijn prof heeft gezegd 'een equiprobabele ellips wordt gedefinieerd door een PDF'.
Dus maw: een PDF beschrijft met zijn functie/formule ook een equiprobabele ellips, en niet enkel de verdeling.
Maar ik zie dat niet in, in die formule, snap je?

X
Liekeu

#4

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 januari 2012 - 14:26

een PDF beschrijft met zijn functie/formule ook een equiprobabele ellips, en niet enkel de verdeling.

Waarschijnlijk zie je dit niet in omdat het niet waar is. :) Zie mijn voorbeeld hierboven: er is één pdf gedefinieerd (in dit geval een twee-dimensionale normaalverdeling), maar er zijn meerdere equiprobabele ellipsen (weergegeven met verschillende kleurtjes). Er is dus niet één unieke equiprobabele ellips gedefinieerd als je alleen de pdf kent. Misschien bedoelt hij dat, wanneer je een normaalverdeling als pdf hebt, de equiprobabele contouren altijd ellipsen zijn?

#5

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 17:22

Waarschijnlijk zie je dit niet in omdat het niet waar is. :) Zie mijn voorbeeld hierboven: er is één pdf gedefinieerd (in dit geval een twee-dimensionale normaalverdeling), maar er zijn meerdere equiprobabele ellipsen (weergegeven met verschillende kleurtjes). Er is dus niet één unieke equiprobabele ellips gedefinieerd als je alleen de pdf kent. Misschien bedoelt hij dat, wanneer je een normaalverdeling als pdf hebt, de equiprobabele contouren altijd ellipsen zijn?


Ik quote even uit mijn cursus:

In many cases class distributions in feature space approximate a multi-normal
distribution and can therefore be modelled by the probability density function of
a multi-normal distribution. The function expresses the chance for an arbitrary
pixel of class c of having the set of DN values specified by the vector x.
The multi-normal distribution has the shape of a multi-dimensional ellipse (a
hyperellipse) in feature space. Plotting the probability density function on the
ellipse produces equal probability contours.
The variable part of the probability
density function is a squared distance measure known as the Mahalanobis
distance. It is a measure of the distance of a pixel’s position in feature space
from the class mean, corrected for the variances and covariances of the class.


Verder zei hij in de les: "PDF is visualised or defined by equiprobability contours".


Ik snapte het toen al niet zo goed.. toen ik het aan de prof apart vroeg, antwoordde hij:
die equi-probability contours worden enkel beschreven door de PDF.

Maar nu ben ik niet meer mee.. :/
In een andere cursus heb ik wel gezien dat voor die equi-probability lijnen er formules zijn. Maar zo in detail gaan wij echter niet. Dus ik weet niet hoe die worden geproduceerd (die lijnen en formules), waar ze vandaan komen etc.. dus ik heb moeite met het in te zien en te aanvaarden :).
Mijn vraag is gwn: je hebt die PDF (een functie, wiskundige formule) --> worden op basis van deze die equiprobabele ellipsen gemaakt of..?

Veranderd door Liekeu, 16 januari 2012 - 17:28


#6

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 18:28

Begin net aan iets te denken..

als je een arbitrair punt (pixel) hebt in die ruimte, dan kan je de waarde van de PDF berekenen voor dat punt. Maw de kans dat een punt met die waarde voorkomt in die distributie.
En dat punt zal op een bepaalde equiprobability contour vallen.

Nee?

#7

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 januari 2012 - 12:49

Ik zie niet in waar ze naar toe willen. Inderdaad hoort bij elk punt (x,y) een kans(dichtheid) p(x,y) en elk punt dat dezelfde kansdichtheid p heeft vormt een equiprobabele contour, welke in het geval van een multinormale verdeling ellipsen zijn.

Misschien bedoelt hij het volgende: wanneer je naar het plaatje hierboven kijkt dan zie je dat de gekleurde ellipsen (equiprobabele contouren) en de gekleurde oppervlak (pdf) eigenlijk dezelfde zijn. De pdf wordt dus gevisualiseerd door een opeenstapeling van oneindig veel equiprobabele contouren. Persoonlijk vind ik het niet veel inzicht verschaffen om het zo te verwoorden, maar het is strikt genomen wel correct.

#8

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 17:04

Ik zie niet in waar ze naar toe willen. Inderdaad hoort bij elk punt (x,y) een kans(dichtheid) p(x,y) en elk punt dat dezelfde kansdichtheid p heeft vormt een equiprobabele contour, welke in het geval van een multinormale verdeling ellipsen zijn.

Misschien bedoelt hij het volgende: wanneer je naar het plaatje hierboven kijkt dan zie je dat de gekleurde ellipsen (equiprobabele contouren) en de gekleurde oppervlak (pdf) eigenlijk dezelfde zijn. De pdf wordt dus gevisualiseerd door een opeenstapeling van oneindig veel equiprobabele contouren. Persoonlijk vind ik het niet veel inzicht verschaffen om het zo te verwoorden, maar het is strikt genomen wel correct.

Ja ik snap wat je bedoelt hoort. Ik snap waar equiprobabele ellipsen voor staan. Ik snap echter niet hoe hun formule gedefinieerd wordt. Wat hun formule is, of die gelinkt is aan de formule voor een PDF..?

Ik zal het mssn simpelder verwoorden:
als je een PDF-formule in een wiskundig programma intikt, en je vult een bepaalde pixel-waarde in op de plaatsen waar het moet, en je drukt op ENTER --> dan krijg je die verdeling, die jij getekent hebt. Klopt he?
HOE worden dan die ellipsen op zichzelf getekend?

PS: ik kreeg net dit antwoord:
"Stel de exponent in de PDF gelijk aan een constante. Wat je nu krijgt is de vgl van een ellips".
Is dit het?

Veranderd door Liekeu, 17 januari 2012 - 17:13


#9

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 januari 2012 - 17:59

als je een PDF-formule in een wiskundig programma intikt, en je vult een bepaalde pixel-waarde in op de plaatsen waar het moet, en je drukt op ENTER --> dan krijg je die verdeling, die jij getekent hebt. Klopt he?

Hier snap ik jou niet. Wat bedoel je met bepaalde pixel-waarden invullen waar het moet? Wat ik gedaan heb is de vergelijking ingetikt en hem voor een range aan x- en y-waarden getekend, dit is dat gekleurde oppervlak.

HOE worden dan die ellipsen op zichzelf getekend?

Dit stuk snap ik ook niet, ik snap de verwoording niet ("op zichzelf"?). Ligt niet aan jou, ligt waarschijnlijk aan het stuk tekst voor je.

"Stel de exponent in de PDF gelijk aan een constante. Wat je nu krijgt is de vgl van een ellips".Is dit het?

Dit is mij ook weer volkomen vreemde verwoording. Ik zou eerder zeggen: Bepaal de (x,y)-waarden waarvoor de waarde van de PDF gelijk is aan een constante. Dit is (de vergelijking van) een ellips.

#10

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 18:39

Hier snap ik jou niet. Wat bedoel je met bepaalde pixel-waarden invullen waar het moet? Wat ik gedaan heb is de vergelijking ingetikt en hem voor een range aan x- en y-waarden getekend, dit is dat gekleurde oppervlak.


Dit stuk snap ik ook niet, ik snap de verwoording niet ("op zichzelf"?). Ligt niet aan jou, ligt waarschijnlijk aan het stuk tekst voor je.


Dit is mij ook weer volkomen vreemde verwoording. Ik zou eerder zeggen: Bepaal de (x,y)-waarden waarvoor de waarde van de PDF gelijk is aan een constante. Dit is (de vergelijking van) een ellips.


Pixelwaarde: vergeet niet dat ik het domein van de geografie zit. Een pixel heeft een reeks waarden in een multi-dimensionele ruimte, gerepresenteerd door een vector. Als je die vector (dus die reeks waarden voor die pixel) invult in die formule van de PDF, dan krijg je constante in de exponent van de PDF. En dan is die equiprobabele ellips-vergelijking?

Zucht.. ik weet echt niet meer anders hoe het te verwoorden hoor.

#11

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 09:52

Ik denk dat ik nu weet waar ze het daar over hebben.

Ik zei dat de equiprobabele contouren van zo een pdf altijd een ellips is, maar dat er wel oneindig veel zijn. Dit is eigenlijk ook wat zij zeggen, maar dan wiskundiger, namelijk dat je de pdf gelijk moet stellen aan een constante. Dit impliceert dat er oneindig veel constanten gekozen kunnen worden.

Verder zei ik dat je de waarde van de pdf constant moet houden, maar als je goed kijkt komen de x en y alleen in de exponent voor, dus als je de exponent constant houdt, betekent dit automatisch dat de pdf zelf ook constant is.


Maar wat ik nog niet helemaal snap: je hebt die term in de exponent, en dat is zogezegd dan een formule voor een equiprobabele ellips.
Maar wat zijn die termen dan los van de exponent? Zoals die 2pi voor de "e". Helpen die mee zo een ellips te vormen in de ruimte?

#12

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 10:01

De quote hierboven kwam van mij als reactie op berichten hier.

Die termen ervoor zorgen er alleen maar voor dat de pdf genormaliseerd is, oftewel dat de inhoud tussen de kromme en het horizontale nulvlak gelijk is aan 1. Wanneer je de pdf met een willekeurig getal vermenigvuldigt, zul je zien dat deze alleen maar omhoog of omlaag schaalt, maar dat de equiprobabele contouren nog steeds ellipsen zijn.

#13

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 10:03

De quote hierboven kwam van mij als reactie op berichten hier.

Die termen ervoor zorgen er alleen maar voor dat de pdf genormaliseerd is, oftewel dat de inhoud tussen de kromme en het horizontale nulvlak gelijk is aan 1. Wanneer je de pdf met een willekeurig getal vermenigvuldigt, zul je zien dat deze alleen maar omhoog of omlaag schaalt, maar dat de equiprobabele contouren nog steeds ellipsen zijn.

Ok. Ik geloof dat ik het nu min of meer door heb.
Maar.. als je nu die x invult in die functie die ik heb getoond (dus in die exponent).. dan kom je toch eigenlijk vanzelf een constante uit, zonder die functie zelf gelijk te stellen aan een constante?

Veranderd door Liekeu, 18 januari 2012 - 10:03


#14

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 12:35

Een x invullen geeft je inderdaad een bepaalde waarde, een constante als je hem zo wil noemen. Maar wat bedoeld wordt met exponent gelijk stellen aan een constante is juist niet een bepaalde x invullen, maar die x'en vinden waarvoor, wanneer je hem in de pdf invult, die bepaalde constante waarde uitkomt en niet zomaar een of ander willekeurig getalletje.

#15

Liekeu

    Liekeu


  • >250 berichten
  • 281 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 12:38

Ok. Bedankt voor al je uitleg en hulp! Echt waar :)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures