Springen naar inhoud

Volume torus via omwenteling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2012 - 18:21

Hallo allemaal!

Ik blijf een beetje vast zitten met inzicht te krijgen in hoe ik een torus verkrijg bij het omwentelen van een cirkel rond de x-as.

Stel dat we een torus hebben met kleine straal 1 en grote straal 3. Nu moet ik een algemene formule opstellen voor het volume bij omwenteling rond de x-as.

Ik snap dat we een cirkel moet wentelen rond de x-as waarvan het middelpunt zeker niet op de x-as mag liggen want zo krijg je een bol.

Hoe weet ik nu de straal van de cirkel die ik wel moet omwentelen, want het inzicht onbreekt me wat ...

Alvast bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2012 - 18:27

Stel dat we een torus hebben met kleine straal 1 en grote straal 3. Nu moet ik een algemene formule opstellen voor het volume bij omwenteling rond de x-as.


Hoe weet ik nu de straal van de cirkel die ik wel moet omwentelen, want het inzicht onbreekt me wat ...

Het vet gedrukte geeft je het antwoord lijkt mij?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2012 - 18:31

Het vet gedrukte geeft je het antwoord lijkt mij?


Maar waarom?
Ik krijg er maar geen inzicht in ... Het middelpunt ligt bijvoorbeeld op de y-as, dan moet ik toch het lijnstuk (denkbeeldig) omwentelen van het middelpunt van de cirkel op de y-as tot de oorsprong?

Veranderd door Prot, 10 januari 2012 - 18:32


#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2012 - 18:40

Ik snap je probleem niet helemaal... Je hebt volgende figuur (bijvoorbeeld):
WSF_Torus.png
Deze figuur ga je nu wentelen om de x-as. Denkbeeldig betekent dat dus dat je een staaf vastmaakt aan je ring (cirkel) en die in de oorsprong plaatst. Vervolgens beweeg je die staaf rond (ze komt uit je scherm, gaat naar onder, gaat achter je scherm en komt weer uit waar je begon). De figuur die je dan hebt gemaakt, is een torus.

Ik veronderstel dat je met kleine straal bedoelt: de lengte van mijn denkbeeldige staaf (dus afstand oorsprong tot rand cirkel). En met grote straals: de afstand van de oorsprong tot het middelpunt van je cirkel. Nu kun je toch de afstand van je cirkel bepalen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2012 - 18:57

Ik snap je probleem niet helemaal... Je hebt volgende figuur (bijvoorbeeld):
WSF_Torus.png
Deze figuur ga je nu wentelen om de x-as. Denkbeeldig betekent dat dus dat je een staaf vastmaakt aan je ring (cirkel) en die in de oorsprong plaatst. Vervolgens beweeg je die staaf rond (ze komt uit je scherm, gaat naar onder, gaat achter je scherm en komt weer uit waar je begon). De figuur die je dan hebt gemaakt, is een torus.

Ik veronderstel dat je met kleine straal bedoelt: de lengte van mijn denkbeeldige staaf (dus afstand oorsprong tot rand cirkel). En met grote straals: de afstand van de oorsprong tot het middelpunt van je cirkel. Nu kun je toch de afstand van je cirkel bepalen?


Kleine straal: straal van het middelpunt van de torus tot aan de binnenkant van de torus (in dit geval 1)
Grote straal: straal van het middelpunt tot de buitenkant van de torus (in dit geval 3)

Dus in dit geval, ga ik de cirkel wentelen met middelpunt (0,2) lijkt me waarvan de straal dan inderdaad 1 is (is dit goed?)

Ik veronderstel dat ik nu moet integreren van -1 tot 1?

Veranderd door Prot, 10 januari 2012 - 18:57


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2012 - 19:00

Dus in dit geval, ga ik de cirkel wentelen met middelpunt (0,2) lijkt me waarvan de straal dan inderdaad 1 is (is dit goed?)

Klopt helemaal :).

Ik veronderstel dat ik nu moet integreren van -1 tot 1?

Stel eens de volledige integraal op. Dan kunnen we meteen zien of je het juist hebt :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2012 - 19:25


Klopt helemaal :).


Stel eens de volledige integraal op. Dan kunnen we meteen zien of je het juist hebt :).


Ok, dus de cirkel die me moeten wentelen heeft als middelpunt (0,2) en straal 1 d.w.z dat de vergelijking gegeven wordt door:
LaTeX
ofwel
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Berekening van het volume:
LaTeX

#8

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2012 - 19:43

Ok, dus de cirkel die me moeten wentelen heeft als middelpunt (0,2) en straal 1 d.w.z dat de vergelijking gegeven wordt door:
LaTeX


ofwel
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Berekening van het volume:
LaTeX


De integraal is goed berekend maar de inhoud van een torus is LaTeX

Dus iets is er mis.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2012 - 21:02

LaTeX


ofwel
LaTeX
LaTeX
LaTeX

En wat met het negatieve stuk van je cirkel?

Je kunt ook eens hier kijken eventueel.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2012 - 21:40

De formule die Tempelier gaf is juist.
Ik begrijp dat je het volume van die torus met behulp van een bepaalde integraal moet oplossen.
Dat de formule van tempelier juist is volgt ook uit de volgende bekende regel uit de machanica.
De tweede regel van Guldin:
De inhoud van een omwentelingslichaam is gelijk aan het produkt van het oppervlak van de wentelende figuur en de weg die het zwaartepunt van deze figuur tijdens de wenteling doorloopt.
Dus in dit geval: LaTeX

#11

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2012 - 21:55

Prot stelt dat de vergelijking van de cirkel gelijk is aan
LaTeX
Moet dit niet zijn:
LaTeX ???

Veranderd door aadkr, 10 januari 2012 - 21:56


#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2012 - 22:00

Neen. Want de buitenste cirkel heeft straal 3. Maar dat is niet het middelpunt van je cirkel. Het middelpunt ligt in het midden tussen je grote en kleine straal. Dus op afstand 2. Dus middelpunt is (0, 2). Mocht je je op mijn figuur baseren: dat was een willekeurige cirkel met straal 1 op de y-as.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2012 - 22:12

Gegeven is: Torus met kleine straal r=1 en grote straal R=3
Volgens mij is je afbeelding helemaal juist.
Dat is precies de maatvoering van de torus .
Sorry, als ik het verkeerd zie.

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2012 - 22:19

Ik ben het ook zo gewend. Maar TS geeft aan met grote straal iets anders te bedoelen. Namelijk:

Grote straal: straal van het middelpunt tot de buitenkant van de torus

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2012 - 22:23

Dan denk ik toch dat de TS het verkeerd ziet.
Onder de grote straal R van een torus verstaan we de afstand van het centrum van de torus tot het middelpunt van de cirkel die men krijgt als je een dwarsdoorsnede van de torus neemt.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures