Tijdens het oefenen ben ik op deze limiet 'gestoten' (
) maar ik kan hem niet uitwerken. Hieronder een uitwerking, een (deels?) foute uitwerking dus waarschijnlijk:(Limiet naar +oneindig)
\(\lim (x \rightarrow \infty) (\ln(e+\frac{1}{x})^{\sqrt{1+x^2}}\)
Eerst neem ik de natuurlijke logaritme\(\lim (x \rightarrow \infty) (\ln(\ln(e+\frac{1}{x})^{\sqrt{1+x^2}})\)
Vervolgens vorm ik om zodat ik iets in de vorm van 0/0 krijg (Eerst de macht binnen de logaritme buitengezet)\(\lim (x \rightarrow \infty) \frac{(\ln(\ln(e+\frac{1}{x})}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}})\)
Aangezien ln(ln(e) = ln(1) = 0 en noemer =0Toepassing van Hopital
\(\lim (x \rightarrow \infty) \frac{\frac{1}{\ln(e+\frac{1}{x})} \frac{e-\frac{1}{x^2}}{e+\frac{1}{x}}}{x(1+x^2)^{-3/2}}\)
Nu vanaf hier kan ik het nog verder uitwerken maar ik geraak niet op de uiteindelijke uitkomst die blijkt te zijn:\( e^{\frac{1}{e}}\)
Als ik het juist heb is het ook zo dat die ln(e +1/x) eigenlijk er uit kan worden gehaald omdat - voor de limiet naar +oneindig - dat die ln = 1 maar als ik dit toepas dan verandert mijn uitkomst, want als ik dan bijvoorbeeld die tussenstap ingeef in wolframalpha, dan geeft die een ander resultaat aan... Hoe komt dit eigenlijk?In ieder geval al dank bij voorbaat
