Springen naar inhoud

Lineaire afbeeldingen en matrices.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2005 - 17:36

Hallo,

Mijn onmogelijke missie is dan toch bijna weer gelukt het eerste hoofdstukje over lineaire algebra heb ik bijna onder de knie. Hellemaal niet zo gemakkelijk, alé voor mij toch niet als je niet gewoon bent aan de stelling bewijs structuur.
Het eerste hoofdstukje behandelde achtereenvolgens de reële en complexe vectorruimtes deelruimtes en directe som van vector ruimtes liniare onafhankelijkheid basis en dimensie en tot slot de eerste dimensie stelling.
Voila nu zie ik in wat precies een vectoriumte is namelijk een verzameling met daarin een structuur gedefinieerd. Verder is de uitbreiding naar deelruimtes niet zo moeilijk daar dit maar een vectorruimte in een vectorruimtes is. Essentieel, en daar maakte ik voordurend een fout is dat de nulvector in al je ruimte te samen aanwezig moet zijn. Wat voor een zuiver wiskundige redelijk logisch zal zijn maar niet voor iemand die met computer teken programma's werkt om dat die dik willer een nulpunt als begin voor een nieuwe vectorruimte definieert. Wat dan strikt gezien weer geen vectoriumte meer is maar allé zo stel een mens zich dat dan voor.
Vervolgens als je weet dat steeds die nulvector in elke vectoriumte kan zitten weet je dat je altijd met een doorsnede zit aja hé want daar zit nu één maal die nulvector in en die zit in alle andere vectoriumtes.
Tot slot is een basis niet zo moeilijk te definiëren als je iets weet van lineair onafhankelijkheid. En de eerste dimensie stelling geeft je dan in de vlugte ook nog het verband tussen de dimensies, aja daarom heet die waarschijnlijk zo, en alle mogelijke te bedenken vectoriumtes onder deelruimte, de doorsnede en soms maar dan zit je in de problemen doe je dit niet goed de dimensie van de vereniging.

Nu zit er een tweede hoofdstuk op mijn te wachten ook zo iets in deze trend alleen is het probleem dat ik hier nog minder van snap nu is mijn vraag daarom kan mij iemand in het kort vertellen zoals ik hierboven deed voor hoofdstuk 1 hoe de verbanden tussen de verschillende zaken nu eigenlijk zijn. want anders begint het op pagina 1 al goed met een stelling nadien met een bewijs en kan ik er weinig structuur inzien.

Wie helpt hier even mee: het volgende hoofdstuk handelt over linieare afbeeldingen kern en beeld van zo'n afbeelding de vectorruimte van de lineaire afbeeldingen matrices en hoe komen ze in dit verband tot dit? dan het product van matrices veranderen van basis en tot slot de rang van de matrix.

Het is echt niet de bedoeling dat iemand mij hier een nieuwe cursus gaat opbouwen gewoon dat ik voor ik begin te studeren de begrippen op een intiunitieve manier aanvoel en snap.

Dank bij voorbaat. Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 oktober 2005 - 23:18

Welk(e) cursus/boek gebruik je eigenlijk?


Lineaire afbeelding
Neem een functie f : V -> W met V en W vectorruimtes (die ken je nu). Deze f is een lineaire afbeelding (of homomorfisme) indien:
f(ax+by) = af(x) + bf(y) met a,b in het veld K en x,y in V.

Deze eigenschap kan vervangen worden door 2 equivalente eigenschappen.
In het kort: de lineaire afbeelding zet een beeld van een lineaire combinatie om in een lineaire combinatie van beelden (vandaar 'lineair').

Belangrijke eigenschap: de nulvector wordt onder een lineaire afbeelding steeds opnieuw de nulvector.

Kern en beeld van een LA
We beschouwen opnieuw een LA; f : V -> W. De kern van f, Ker(f), is dan de verzameling van alle vectoren x uit V die door f worden afgebeeld op de nulvector. Het is dus f-1{0}.
Oftewel: Ker(f) = {x in V | f(x) = 0}

We beschouwen dezelfde LA; f : V -> W. Het beeld van f, Im(f), is de verzameling van alle beelden van f, dus f(V).
Oftewel: Im(f) = {f(x) | x in V}

Opmerkingen (toon evt. zelf aan):
Ker(f) is een deelruimte van V
Im(f) is een deelruimte van W

Waarschijnlijk zie je nu ook injectiviteit en surjectiviteit, die in direct verband staan met kern en beeld, en dan bijectiviteit (i.e. surjectief én injectief).

Een bijectieve lineaire afbeelding is een isomorfisme.
Deze heeft ook steeds een inverse afbeelding.

Tweede Dimensiestelling: dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(V)

Nu schets ik het vervolg, kijk maar eerst dat je het voorgaande goed snapt.

Hierna voer je eerst een geordende basis in, dan kan je met elke LA een matrix associëren door de beelden van de basisvectoren in de kolommen te noteren.

Stel je hebt 2 LA'en, f en g. De matrix van de samenstelling hiervan (g o f) kan gevonden worden door het product van de matrices van g en f te nemen, in die volgorde, dus GF. Het is mogelijk op dit moment ook de inverse matrix in te voeren, maar dat hangt van je cursus af.

Vervolgens kun je binnen een vectorruimte V twee verschillende basissen (E en E') hebben. We voeren het concept "overgangsmatrix" in om te coördinaten t.o.v. één van de twee basissen te vinden als die t.o.v. de andere gegeven is. Ook dit kan je uitbreiden naar overgangsmatrices voor de matrix van een LA.

Tot slot definiëren we de rang van een matrix (A) geassocieerd aan een LA (f) als de dimensie van het beeld, dus rang(f) = rang(A) = dim(Im(f)).
Onmiddellijk volgt als eigenschap dat de rang van een matrix A het maximaal aantal lineair onafhankelijke kolommen is (en à posteriori, ook rijen).

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 oktober 2005 - 13:10

bedankt het zal beginnen te komen denk ik, en het zal moeten.
eigenlijk is het zelf niet zo moeilijk alé het eerste hoofdstuk toch maar je dient het verband te zien.

Nog een klein vraagje vroeger in de fysica of mechanica ontbonden we krachten dit werd toen voorgesteld door vectoren in componenten. Kan ik dat hier als een afbeelding zien?
Kan er iemand mss eens een praktische toepassing aanbrengen bv krachten of zo iets.

cursus boek http://homepages.vub...enepe/linea.pdf

ondertussen gebruiken denk ik wel een iets nieuwer versie maar die is niet veel veranderd.

Groeten.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 oktober 2005 - 16:26

Graag gedaan, ik heb je een PM gestuurd.

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 november 2005 - 18:30

Opmerkingen (toon evt. zelf aan):  
Ker(f) is een deelruimte van V  
Im(f) is een deelruimte van W  



Inderdaad toon dit aan voor te beginnen moet je ook hier kunnen laten zien dat inderdaad de nulvector er in aanwezig is anders heb je geen deelruimte dat die erin zit is nog al triviaal maar hoe kan je bewijzen dat alle lineaire combinaties intern blijven?
Of bestaat mss de mogelijkheid aan te tonen dat hierin alleen de nulvector zit ( ik vermoed dit sterk van niet want als je een afbeelding maakt vanuit een 3 d ruimte dan komt de derde component telkens op de nulvector terecht. dus moet de hele z component in die kerf zitten dus blijf ik zitten met het probleem van interniteit hoe los ik dit op maw hoe kan ik sluitend bijwijzen dat alle vectoren intern blijven???

Groeten.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 november 2005 - 19:49

Ker(f) kan bestaan uit de nulvector alleen maar er kunnen natuurlijk ook meer vectoren inzitten. Aantonen dat het intern blijft is triviaal, neem x en y vectoren uit V en in Ker(f) voor f:V->W en a en b scalairen uit je veld K. Dan geldt: f(ax+by) = af(x) + bf(y) = 0 + 0 = 0.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures