Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 102

Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Hallo,

ik zit met het volgende probleem:

3t-2u(t)+tu'(t)=0

Ik moet dit oplossen door een integrerende factor te vinden die alleen van t afhankelijk is, zodat het een exacte differentiaalvergelijking wordt.

Kan iemand mij vertellen hoe ik zo'n integrerende factor kan vinden, en hoe ik het vervolgens kan oplossen?

Tot zover ik begrepen heb, is deze niet exact omdat

(d/du)(3t-2u(t)) = -2u'(t) niet gelijk is aan (d/dt)(t) =1. Is dat inderdaad de reden?

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

even recapituleren voor de de duidelijkheid. Je hebt dus:
\(3t-2u(t)+tu'(t)=0\)
of ook
\((3t-2u)dt + t du =0\)
De opdracht is om de vergelijking te herschrijven zodat
\(\frac{\partial F(t,u)}{\partial t} dt + \frac{\partial F(t,u)}{\partial u} du = 0 \)
En dan is de oplossing van de vergelijking gelijk aan
\(F(t,u)=0\)
. De integerende factor
\(\mu (t,u)\)
moet dus zodanig zijn dat:
\(\frac{\partial \mu (3t-2u)}{\partial u} = \frac{\partial \mu t}{\partial t} \)
Deze vergelijking is nog moeilijker dan de vorige, gezien ze partieel is. In dit geval moet je gewoon proberen wat werkt:
\(\mu (t)\)
of
\(\mu (u)\)
Eén opmerking:
\(\frac{\partial (3t-2u)}{\partial u} = -2\)
, en niet
\(-2u'(t)\)
This is weird as hell. I approve.

Berichten: 102

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Typhoner schreef:even recapituleren voor de de duidelijkheid. Je hebt dus:
\(3t-2u(t)+tu'(t)=0\)
of ook
\((3t-2u)dt + t du =0\)
De opdracht is om de vergelijking te herschrijven zodat
\(\frac{\partial F(t,u)}{\partial t} dt + \frac{\partial F(t,u)}{\partial u} du = 0 \)
En dan is de oplossing van de vergelijking gelijk aan
\(F(t,u)=0\)
. De integerende factor
\(\mu (t,u)\)
moet dus zodanig zijn dat:
\(\frac{\partial \mu (3t-2u)}{\partial u} = \frac{\partial \mu t}{\partial t} \)
Deze vergelijking is nog moeilijker dan de vorige, gezien ze partieel is. In dit geval moet je gewoon proberen wat werkt:
\(\mu (t)\)
of
\(\mu (u)\)
Eén opmerking:
\(\frac{\partial (3t-2u)}{\partial u} = -2\)
, en niet
\(-2u'(t)\)
Wat bedoel je precies met '' proberen wat werkt
\(\mu (t)\)
of
\(\mu (u)\)
? ''

En wat is dan precies het verband om uit
\(\mu\)
de
\(\ F(t,u)\)
te vinden?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

We hebben de vergelijking:
\(P(u,t) dt + Q(u,t) du = 0\)


We zouden graag willen dat:
\(P(u,t) = \frac{\partial F(u,t)}{\partial t} \quad \text{en} \quad Q(u,t) = \frac{\partial F(u,t)}{\partial u}\)
want dan is
\(F(t,u) = 0\)
de oplossing, ofwel:
\(F = 0 = \int P(u,t) \, dt = \int Q(u,t) \, dt\)


Dit geldt alleen als:
\( \frac{\partial P(u,t)}{\partial u} = \frac{\partial Q(u,t)}{\partial t}\)
omdat
\(\frac{\partial^2 F}{\partial t \partial u} = \frac{\partial^2 F}{\partial u \partial t}\)


Bij de vergelijking die jij post is dit niet het geval, en moeten we er een factor
\(\mu\)
bijzetten om dit wel te laten kloppen, zodanig dat:
\(\mu (u,t) P(u,t) = \frac{\partial F(u,t)}{\partial t} \quad \text{en} \quad \mu (u,t) Q(u,t) = \frac{\partial F(u,t)}{\partial u}\)
en
\( \frac{\partial \mu (u,t) P(u,t)}{\partial u} = \frac{\partial \mu (u,t) Q(u,t)}{\partial t}\)


Omdat
\(\mu\)
in principe afhangt van twee variabelen, is deze laatste voorwaarde een partiële differentiaalvergelijking, veel geluk met het oplossen! Daarom probeer je eenvoudige functies van één variabele, want in dat geval krijg je een gewone differentiaalvgl in één veranderlijke. Laat ons eens
\(\mu (t)\)
proberen:
\( \mu(t) \frac{\partial (3t-2u)}{\partial u} = t \frac{\partial \mu(t)}{\partial t} + \mu(t) \frac{\partial t}{\partial t}\)
\( -2\mu(t) = t \mu'(t) + \mu(t)\)


Je neemt nu een willekeurige oplossing van deze DVGL, dit is je integerende factor, en nu geldt dat de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking gelijk is aan
\(F = 0 = \int \mu(t) P(u,t) \, dt = \int \mu(t)Q(u,t) \, dt\)
This is weird as hell. I approve.

Berichten: 102

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Even kijken,

als ik die dv probeer op te lossen krijg ik voor mu : 1/(t^3)

Ik snap alleen nog niet goed hoe ik verder kom, want als ik deze vermenigvuldig met de t, en dan integreer krijg ik toch niet de oplossing?

Als ik namelijk je laatste regel lees, snap ik niet hoe er ooit 0 uit kan komen.. dat komt er toch nooit uit, tenzij het een constante is?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

denk eraan dat de uitkomst
\(0 = \text{Iets met $u(t)$ en $t$ in}\)
is!!
This is weird as hell. I approve.

Berichten: 102

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Typhoner schreef:denk eraan dat de uitkomst
\(0 = \text{Iets met $u(t)$ en $t$ in}\)
is!!
Oké, maar ik snap nog niet echt hoe je nu je antwoord vind als je mu gevonden hebt..

Ik kom niet verder dan mu maal t integreren en daar is de uitkomst -1/t van.

Als ik iets met u(t) moet hebben en het gelijk moet worden aan 0, zou ik denken u(t) = 1/t , maar dat is niet de juiste oplossing.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Nu we daar zijn geraakt, moeten we aan het volgende denken: als we functie van u en t integreren naar t, dan krijgen we één of andere primitieve functie, plus constante. Gezien nu niet naar u hebben geïntegreerd, kan deze constante ook nog van u afhangen. Je zult dus twee integralen (die van het stuk voor dt naar t, en die van het stuk voor du naar u). Vergelijking van deze twee uitdrukkingen levert de uiteindelijke uitkomst (plus evt. nog een constante), die je dan naar u kan omschrijven.
This is weird as hell. I approve.

Berichten: 102

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Nu we daar zijn geraakt, moeten we aan het volgende denken: als we functie van u en t integreren naar t, dan krijgen we één of andere primitieve functie, plus constante. Gezien nu niet naar u hebben geïntegreerd, kan deze constante ook nog van u afhangen. Je zult dus twee integralen (die van het stuk voor dt naar t, en die van het stuk voor du naar u). Vergelijking van deze twee uitdrukkingen levert de uiteindelijke uitkomst (plus evt. nog een constante), die je dan naar u kan omschrijven.
Even kijken, die andere integraal is dan toch (3t-2u)/(t^3), deze integreer ik naar u, dit geeft mij 3u/(t^2) - de integraal van (2u/(t^3)), en deze zou gelijk moeten zijn aan de integraal naar t dus gelijk aan -1/t.

Nu krijg ik dus 3u/(t^2) + 1/t = integraal van 2u/(t^3) du

Klopt dit? En hoe kom ik nu verder, ik snap nog niet echt hoe ik die laatste integraal zou kunnen oplossen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

PAS OP, integralen aangepast!
\(0 = \int \frac{1}{t^2} \, du = \frac{u}{t^2} + c_y\)
en
\(0 = \int \frac{3t-2u}{t^3} \, dt = -\frac{1}{t^3} + 4 \frac{u}{t^4} + c_t\)


dus samengenomen:
\(0 = -\frac{1}{t^3} + 4 \frac{u}{t^4} + \frac{u}{t^2} + c\)
This is weird as hell. I approve.

Berichten: 102

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Typhoner schreef:je hebt:
\(0 = \int \frac{1}{t^2} \, dt = -\frac{1}{t} + c_u\)
en
\(0 = \int \frac{3t-2u}{t^3} \, du = \frac{3u}{t^2} - \frac{u^2}{t^3} + c_t\)
Ah natuurlijk! Bedankt. Nu moet ik deze twee vergelijkingen dus aan elkaar gelijk stellen?

Dan krijg ik namelijk:

3tu-u^2 = -t^2+
\(c_u\)
t^3 -
\(c_t\)
t^3.

Ik zie alleen niet hoe ik dit vervolgens weer kan oplossen door die u^2

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

pas op, ik had de verkeerde integralen opgeschreven, zie aangepaste post!

Wacht even, ik pas het aan, er zit nog een fout in.
\(0 = \int \frac{1}{t^2} \, du = \frac{u}{t^2} + c_t\)
\(0 = \int \frac{3t-2u}{t^3} \, dt = -\frac{3}{t} + \frac{u}{t^2} + c_u\)
Dus
\(0 = -\frac{3}{t} + \frac{u}{t^2} + c\)
Sorry, ik er niet bij met mijn hoofd, heb het vijf keer aangepast.
This is weird as hell. I approve.

Berichten: 102

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Typhoner schreef:pas op, ik had de verkeerde integralen opgeschreven, zie aangepaste post!

Wacht even, ik pas het aan, er zit nog een fout in.
\(0 = \int \frac{1}{t^2} \, du = \frac{u}{t^2} + c_t\)
\(0 = \int \frac{3t-2u}{t^3} \, dt = -\frac{3}{t} + \frac{u}{t^2} + c_u\)
Dus
\(0 = -\frac{3}{t} + \frac{u}{t^2} + c\)
Sorry, ik er niet bij met mijn hoofd, heb het vijf keer aangepast.
Enorm bedankt!

Dus, het deel dat voor u' staat in de vergelijking moet je altijd naar t integreren, en het andere deel naar u?

En dus niet omgekeerd zoals we eerder deden?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

Vogeltjes schreef:Enorm bedankt!

Dus, het deel dat voor u' staat in de vergelijking moet je altijd naar t integreren, en het andere deel naar u?

En dus niet omgekeerd zoals we eerder deden?


je kan u' schrijven als (du/dt) en de dt bij het andere stuk zetten. Het stukje dat voor dt staat is dan als het ware al "klaar" om naar t te integreren, en vice versa.
This is weird as hell. I approve.

Berichten: 102

Re: Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking

je kan u' schrijven als (du/dt) en de dt bij het andere stuk zetten. Het stukje dat voor dt staat is dan als het ware al "klaar" om naar t te integreren, en vice versa.
Ik geloof dat ik het wel begrijp. Hartstikke bedankt!

Reageer