Springen naar inhoud

Integrerende factor exacte differentiaalvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2012 - 18:32

Hallo,
ik zit met het volgende probleem:
3t-2u(t)+tu'(t)=0
Ik moet dit oplossen door een integrerende factor te vinden die alleen van t afhankelijk is, zodat het een exacte differentiaalvergelijking wordt.
Kan iemand mij vertellen hoe ik zo'n integrerende factor kan vinden, en hoe ik het vervolgens kan oplossen?

Tot zover ik begrepen heb, is deze niet exact omdat
(d/du)(3t-2u(t)) = -2u'(t) niet gelijk is aan (d/dt)(t) =1. Is dat inderdaad de reden?

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2012 - 15:15

even recapituleren voor de de duidelijkheid. Je hebt dus:

LaTeX

of ook

LaTeX

De opdracht is om de vergelijking te herschrijven zodat

LaTeX

En dan is de oplossing van de vergelijking gelijk aan LaTeX . De integerende factor LaTeX moet dus zodanig zijn dat:

LaTeX

Deze vergelijking is nog moeilijker dan de vorige, gezien ze partieel is. In dit geval moet je gewoon proberen wat werkt: LaTeX of LaTeX

Eén opmerking:
LaTeX , en niet LaTeX

Veranderd door Typhoner, 15 januari 2012 - 15:17

This is weird as hell. I approve.

#3

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2012 - 16:06

even recapituleren voor de de duidelijkheid. Je hebt dus:

LaTeX



of ook

LaTeX

De opdracht is om de vergelijking te herschrijven zodat

LaTeX

En dan is de oplossing van de vergelijking gelijk aan LaTeX . De integerende factor LaTeX moet dus zodanig zijn dat:

LaTeX

Deze vergelijking is nog moeilijker dan de vorige, gezien ze partieel is. In dit geval moet je gewoon proberen wat werkt: LaTeX of LaTeX

Eén opmerking:
LaTeX , en niet LaTeX


Wat bedoel je precies met '' proberen wat werkt LaTeX of LaTeX ? ''
En wat is dan precies het verband om uit LaTeX de LaTeX te vinden?

#4

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 11:33

We hebben de vergelijking:
LaTeX

We zouden graag willen dat:
LaTeX
want dan is
LaTeX
de oplossing, ofwel:
LaTeX

Dit geldt alleen als:
LaTeX
omdat
LaTeX

Bij de vergelijking die jij post is dit niet het geval, en moeten we er een factor LaTeX bijzetten om dit wel te laten kloppen, zodanig dat:
LaTeX
en
LaTeX

Omdat LaTeX in principe afhangt van twee variabelen, is deze laatste voorwaarde een partiële differentiaalvergelijking, veel geluk met het oplossen! Daarom probeer je eenvoudige functies van één variabele, want in dat geval krijg je een gewone differentiaalvgl in één veranderlijke. Laat ons eens LaTeX proberen:
LaTeX
LaTeX

Je neemt nu een willekeurige oplossing van deze DVGL, dit is je integerende factor, en nu geldt dat de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking gelijk is aan
LaTeX
This is weird as hell. I approve.

#5

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 12:12

Even kijken,
als ik die dv probeer op te lossen krijg ik voor mu : 1/(t^3)
Ik snap alleen nog niet goed hoe ik verder kom, want als ik deze vermenigvuldig met de t, en dan integreer krijg ik toch niet de oplossing?
Als ik namelijk je laatste regel lees, snap ik niet hoe er ooit 0 uit kan komen.. dat komt er toch nooit uit, tenzij het een constante is?

Veranderd door Vogeltjes, 16 januari 2012 - 12:20


#6

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 15:04

denk eraan dat de uitkomst
LaTeX
is!!
This is weird as hell. I approve.

#7

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 15:09

denk eraan dat de uitkomst
LaTeX


is!!

Oké, maar ik snap nog niet echt hoe je nu je antwoord vind als je mu gevonden hebt..
Ik kom niet verder dan mu maal t integreren en daar is de uitkomst -1/t van.
Als ik iets met u(t) moet hebben en het gelijk moet worden aan 0, zou ik denken u(t) = 1/t , maar dat is niet de juiste oplossing.

#8

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 15:13

Nu we daar zijn geraakt, moeten we aan het volgende denken: als we functie van u en t integreren naar t, dan krijgen we één of andere primitieve functie, plus constante. Gezien nu niet naar u hebben geïntegreerd, kan deze constante ook nog van u afhangen. Je zult dus twee integralen (die van het stuk voor dt naar t, en die van het stuk voor du naar u). Vergelijking van deze twee uitdrukkingen levert de uiteindelijke uitkomst (plus evt. nog een constante), die je dan naar u kan omschrijven.

Veranderd door Typhoner, 16 januari 2012 - 15:14

This is weird as hell. I approve.

#9

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 15:20

Nu we daar zijn geraakt, moeten we aan het volgende denken: als we functie van u en t integreren naar t, dan krijgen we één of andere primitieve functie, plus constante. Gezien nu niet naar u hebben geïntegreerd, kan deze constante ook nog van u afhangen. Je zult dus twee integralen (die van het stuk voor dt naar t, en die van het stuk voor du naar u). Vergelijking van deze twee uitdrukkingen levert de uiteindelijke uitkomst (plus evt. nog een constante), die je dan naar u kan omschrijven.

Even kijken, die andere integraal is dan toch (3t-2u)/(t^3), deze integreer ik naar u, dit geeft mij 3u/(t^2) - de integraal van (2u/(t^3)), en deze zou gelijk moeten zijn aan de integraal naar t dus gelijk aan -1/t.
Nu krijg ik dus 3u/(t^2) + 1/t = integraal van 2u/(t^3) du
Klopt dit? En hoe kom ik nu verder, ik snap nog niet echt hoe ik die laatste integraal zou kunnen oplossen.

#10

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 15:32

PAS OP, integralen aangepast!
LaTeX
en
LaTeX

dus samengenomen:
LaTeX

Veranderd door Typhoner, 16 januari 2012 - 15:44

This is weird as hell. I approve.

#11

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 15:39

je hebt:
LaTeX


en
LaTeX

Ah natuurlijk! Bedankt. Nu moet ik deze twee vergelijkingen dus aan elkaar gelijk stellen?
Dan krijg ik namelijk:
3tu-u^2 = -t^2+ LaTeX t^3 - LaTeX t^3.
Ik zie alleen niet hoe ik dit vervolgens weer kan oplossen door die u^2

Veranderd door Vogeltjes, 16 januari 2012 - 15:43


#12

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 15:47

pas op, ik had de verkeerde integralen opgeschreven, zie aangepaste post!

Wacht even, ik pas het aan, er zit nog een fout in.
LaTeX
LaTeX

Dus
LaTeX

Sorry, ik er niet bij met mijn hoofd, heb het vijf keer aangepast.

Veranderd door Typhoner, 16 januari 2012 - 15:56

This is weird as hell. I approve.

#13

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 16:00

pas op, ik had de verkeerde integralen opgeschreven, zie aangepaste post!

Wacht even, ik pas het aan, er zit nog een fout in.
LaTeX


LaTeX

Dus
LaTeX

Sorry, ik er niet bij met mijn hoofd, heb het vijf keer aangepast.

Enorm bedankt!
Dus, het deel dat voor u' staat in de vergelijking moet je altijd naar t integreren, en het andere deel naar u?
En dus niet omgekeerd zoals we eerder deden?

#14

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 16:05

Enorm bedankt!
Dus, het deel dat voor u' staat in de vergelijking moet je altijd naar t integreren, en het andere deel naar u?
En dus niet omgekeerd zoals we eerder deden?


je kan u' schrijven als (du/dt) en de dt bij het andere stuk zetten. Het stukje dat voor dt staat is dan als het ware al "klaar" om naar t te integreren, en vice versa.
This is weird as hell. I approve.

#15

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 16:14

je kan u' schrijven als (du/dt) en de dt bij het andere stuk zetten. Het stukje dat voor dt staat is dan als het ware al "klaar" om naar t te integreren, en vice versa.

Ik geloof dat ik het wel begrijp. Hartstikke bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures