Springen naar inhoud

Differentiaalvergelijkingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2012 - 14:53

In mijn boek staan veel voorbeelden van hoe een differentiaalvergelijking opgelost wordt. Wat ik alleen niet snap is dat bij het primitiveren, de ene keer de constante die ontstaat blijft staan, en de andere keer wordt hij gewoon genegeerd.

Voorbeeld:
x' = ax
scheiden van variabelen:
dx/x = a dt
integreren geeft lnx = at+c

hier blijft rechts de constante staan, maar links niet.
de primitieve van a dt is toch a[t+c] met ondergrens 0 en bovengrens t:
a[(t+c)-(0+c)]=at

de c valt toch weg?

ook snap ik niet dat de linkerkant lnx wordt, je hebt toch als ondergrens x0(initiele positie) en als bovengrens x. Dan zou er toch iets als:
lnx-lnx0=ln(x/x0)
uit moeten komen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2012 - 15:36

Voorbeeld:
x' = ax
scheiden van variabelen:
dx/x = a dt
integreren geeft lnx = at+c

hier blijft rechts de constante staan, maar links niet.

Het is niet nodig de integratieconstante in beide leden te schrijven, aangezien je de ene dan naar het andere lid kan brengen en vervolgens samenneemt. Let op: het zijn links en rechts niet dezelfde constante, anders zou die 'wegvallen'. Als ik d en e als initiŽle constantes noteer:

ln|x| + d = at+e
ln|x| = at + e-d

Nu is e-d ook een willekeurige constante, als e en d dat zijn. Hernoem deze naar c en er staat

ln|x| = at + c

Die stappen worden doorgaans overgeslagen en men noteert gewoon een keer een integratieconstante.

de primitieve van a dt is toch a[t+c] met ondergrens 0 en bovengrens t:
a[(t+c)-(0+c)]=at

de c valt toch weg?

ook snap ik niet dat de linkerkant lnx wordt, je hebt toch als ondergrens x0(initiele positie) en als bovengrens x. Dan zou er toch iets als:
lnx-lnx0=ln(x/x0)
uit moeten komen?

Er is niet zoiets als 'de primitieve', maar 'een primitieve'. Je hebt er oneindig veel, namelijk op een constante na. Een primitieve van 1/x is ln(x). Als dit een vraagstuk is met een fysische context zoals beginpositie, -snelheid of wat dan ook, dan kan je inderdaad bepaald gaan integreren en dan komen dat soort termen er wel bij.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2012 - 16:10

Oke dus stel er wordt begin positie=0 en begintijd=0 gegeven, dan krijg je de vergelijking:
ln|x| + d = at + e

En als beginpositie=x0 en begintijd=t0 wordt gegeven dat wordt het:
ln(x/x0)= at-at0
omdat je dan aan beide kanten bij het integreren de constanten tegen elkaar weg kan strepen:
(ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e)

of klopt dit niet?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2012 - 16:17

Beginpositie x = 0 op t = 0 is ook een beginvoorwaarde. Je kan overigens kiezen om dan te werken met een bepaalde integraal, of je doet het toch met integratieconstantes en dan moet je de beginvoorwaarde achteraf nog invullen om de constante te bepalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2012 - 16:26

Sorry ik snap het toch nog niet helemaal.
Ik snap dat hoe je maar aan een kant een constante overhoudt zoals in:
1. ln|x| = at + e-d

Maar ik snap niet dan de constanten niet tegen elkaar weggestreept worden zoals in:
2. (ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e) =
ln(x/x0)=at-at0

Komt dat omdat er in 1. geen begin voorwaarden worden gebruikt en in 2. wel? En omdat je met beginvoorwaarden een integraal doet en zonder beginwoordwaarden een primitieve?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2012 - 16:42

[quote name='Nesta' post='713061' date='15 January 2012, 16:26']Maar ik snap niet dan de constanten niet tegen elkaar weggestreept worden zoals in:
2. (ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e) =
ln(x/x0)=at-at0[/quote]
Waar komt die d (en f) vandaan? Bij een bepaalde integraal is er geen (integratie)constante meer.

Vertrekkend van de gescheiden vorm van de differentiaalvergelijking 'dx/x = a dt' doe je ofwel:

Bericht bekijken
Komt dat omdat er in 1. geen begin voorwaarden worden gebruikt en in 2. wel? En omdat je met beginvoorwaarden een integraal doet en zonder beginwoordwaarden een primitieve?[/quote]
Als er geen beginvoorwaarde gegeven is, kan je alleen de 'eerste manier' doen. Als er wel een beginvoorwaarde gegeven is, kan je dus kiezen: toch integreren zoals op de eerste manier en dan de beginvoorwaarde opleggen om de integratieconstante te bepalen, of die beginvoorwaarde onmiddellijk gebruiken bij het integreren ('tweede manier' van hierboven).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2012 - 22:43

Aaah nu is het me duidelijk,

super, bedankt!

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 00:47

Okť, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures