In mijn boek staan veel voorbeelden van hoe een differentiaalvergelijking opgelost wordt. Wat ik alleen niet snap is dat bij het primitiveren, de ene keer de constante die ontstaat blijft staan, en de andere keer wordt hij gewoon genegeerd.
Voorbeeld:
x' = ax
scheiden van variabelen:
dx/x = a dt
integreren geeft lnx = at+c
hier blijft rechts de constante staan, maar links niet.
de primitieve van a dt is toch a[t+c] met ondergrens 0 en bovengrens t:
a[(t+c)-(0+c)]=at
de c valt toch weg?
ook snap ik niet dat de linkerkant lnx wordt, je hebt toch als ondergrens x0(initiele positie) en als bovengrens x. Dan zou er toch iets als:
lnx-lnx0=ln(x/x0)
uit moeten komen?
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Differentiaalvergelijkingen
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijkingen
Het is niet nodig de integratieconstante in beide leden te schrijven, aangezien je de ene dan naar het andere lid kan brengen en vervolgens samenneemt. Let op: het zijn links en rechts niet dezelfde constante, anders zou die 'wegvallen'. Als ik d en e als initiële constantes noteer:Nesta schreef:Voorbeeld:
x' = ax
scheiden van variabelen:
dx/x = a dt
integreren geeft lnx = at+c
hier blijft rechts de constante staan, maar links niet.
ln|x| + d = at+e
ln|x| = at + e-d
Nu is e-d ook een willekeurige constante, als e en d dat zijn. Hernoem deze naar c en er staat
ln|x| = at + c
Die stappen worden doorgaans overgeslagen en men noteert gewoon een keer een integratieconstante.
Er is niet zoiets als 'de primitieve', maar 'een primitieve'. Je hebt er oneindig veel, namelijk op een constante na. Een primitieve van 1/x is ln(x). Als dit een vraagstuk is met een fysische context zoals beginpositie, -snelheid of wat dan ook, dan kan je inderdaad bepaald gaan integreren en dan komen dat soort termen er wel bij.Nesta schreef:de primitieve van a dt is toch a[t+c] met ondergrens 0 en bovengrens t:
a[(t+c)-(0+c)]=at
de c valt toch weg?
ook snap ik niet dat de linkerkant lnx wordt, je hebt toch als ondergrens x0(initiele positie) en als bovengrens x. Dan zou er toch iets als:
lnx-lnx0=ln(x/x0)
uit moeten komen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 112
Re: Differentiaalvergelijkingen
Oke dus stel er wordt begin positie=0 en begintijd=0 gegeven, dan krijg je de vergelijking:
ln|x| + d = at + e
En als beginpositie=x0 en begintijd=t0 wordt gegeven dat wordt het:
ln(x/x0)= at-at0
omdat je dan aan beide kanten bij het integreren de constanten tegen elkaar weg kan strepen:
(ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e)
of klopt dit niet?
ln|x| + d = at + e
En als beginpositie=x0 en begintijd=t0 wordt gegeven dat wordt het:
ln(x/x0)= at-at0
omdat je dan aan beide kanten bij het integreren de constanten tegen elkaar weg kan strepen:
(ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e)
of klopt dit niet?
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijkingen
Beginpositie x = 0 op t = 0 is ook een beginvoorwaarde. Je kan overigens kiezen om dan te werken met een bepaalde integraal, of je doet het toch met integratieconstantes en dan moet je de beginvoorwaarde achteraf nog invullen om de constante te bepalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 112
Re: Differentiaalvergelijkingen
Sorry ik snap het toch nog niet helemaal.
Ik snap dat hoe je maar aan een kant een constante overhoudt zoals in:
1. ln|x| = at + e-d
Maar ik snap niet dan de constanten niet tegen elkaar weggestreept worden zoals in:
2. (ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e) =
ln(x/x0)=at-at0
Komt dat omdat er in 1. geen begin voorwaarden worden gebruikt en in 2. wel? En omdat je met beginvoorwaarden een integraal doet en zonder beginwoordwaarden een primitieve?
Ik snap dat hoe je maar aan een kant een constante overhoudt zoals in:
1. ln|x| = at + e-d
Maar ik snap niet dan de constanten niet tegen elkaar weggestreept worden zoals in:
2. (ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e) =
ln(x/x0)=at-at0
Komt dat omdat er in 1. geen begin voorwaarden worden gebruikt en in 2. wel? En omdat je met beginvoorwaarden een integraal doet en zonder beginwoordwaarden een primitieve?
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijkingen
Waar komt die d (en f) vandaan? Bij een bepaalde integraal is er geen (integratie)constante meer.Nesta schreef:Maar ik snap niet dan de constanten niet tegen elkaar weggestreept worden zoals in:
2. (ln(x)+d)-(ln(x0)+d) = (at + e)-(at0 + e) =
ln(x/x0)=at-at0
Vertrekkend van de gescheiden vorm van de differentiaalvergelijking 'dx/x = a dt' doe je ofwel:
\(\int \frac{1}{x} \, \mbox{d}x = \int a \, \mbox{d}t\)
Als er geen beginvoorwaarde gegeven is, kan je alleen de 'eerste manier' doen. Als er wel een beginvoorwaarde gegeven is, kan je dus kiezen: toch integreren zoals op de eerste manier en dan de beginvoorwaarde opleggen om de integratieconstante te bepalen, of die beginvoorwaarde onmiddellijk gebruiken bij het integreren ('tweede manier' van hierboven).Komt dat omdat er in 1. geen begin voorwaarden worden gebruikt en in 2. wel? En omdat je met beginvoorwaarden een integraal doet en zonder beginwoordwaarden een primitieve?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 24.578
Re: Differentiaalvergelijkingen
Oké, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
