Springen naar inhoud

Muizenprobleem


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 18:00

Hallo allemaal,

Er is een vraagstuk waar ik maar niet uitkom. Hopelijk kan ik hier geholpen worden, zoals in het verleden vaak gebeurd is! :)

---

Neem aan dat je op het tijdstip LaTeX één paar muizen hebt. Aan het eind van het eerste jaar van hun leven krijgen ze een eerste paar muizen en aan het eind van het tweede jaar nog een tweede paar. Daarna krijgen ze geen nakomelingen meer, maar blijven wel leven. Alle nakomelingen krijgen op dezelfde manier jongen als het oorspronkelijke paar. Het aantal paren muizen aan het eind van LaTeX jaren is LaTeX . Dus op het begin geldt: LaTeX en LaTeX .

a) Leid een differentiaalvergelijking af voor LaTeX en los deze op.


Allereerst ben ik niet zeker hoe het nou met de nakomelingen zit. Het lijkt me dat bedoeld wordt dat een muizenstel per jaar één jong krijgt en die heeft meteen een partner gevonden (dus de ouders produceren elk jaar één paar), of er is hier sprake van incest. Dat kan natuurlijk ook.

Ik heb voor mezelf een stamboomtekening gemaakt en het aantal paren in de eerste jaren bepaald:
LaTeX .

Na een (lange) tijd viel het me op dat er sprake is van een 'soort' Fibonaccireeks:
LaTeX .

Als differentiaalvergelijking moet je het als LaTeX noteren, denk ik. Dit is een inhomogene vergelijking. Ik weet alleen niet goed hoe ik dit moet oplossen.

Dus ik hoop dat ik even op weg wordt geholpen :)


Alvast bedankt,
Fruitschaal.

Veranderd door Fruitschaal, 16 januari 2012 - 18:02


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2012 - 18:37

Stel een vergelijking op voor Bericht bekijken
Allereerst ben ik niet zeker hoe het nou met de nakomelingen zit. Het lijkt me dat bedoeld wordt dat een muizenstel per jaar één jong krijgt en die heeft meteen een partner gevonden (dus de ouders produceren elk jaar één paar), of er is hier sprake van incest. Dat kan natuurlijk ook.[/quote]
Er staat dat een paar muizen een nieuw paar muizen krijgt. Hoe ze dat logistiek precies doen is niet relevant.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 23:15

Dan lijkt het me dat je simpelweg de formule iets moet ombouwen:
LaTeX
Wat levert dit op?

#4

wesleyc

    wesleyc


  • >25 berichten
  • 99 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 23:15

die 'soort van Fibonacci reeks' heet een recurrente betrekking of differentievergelijking.

vervang LaTeX door LaTeX en los vervolgens de homogene vergelijking op voor de algemene oplossing, ga daarna verder met de particuliere oplossing.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2012 - 23:29

Oké, die eigenschap kende ik niet.

Met die substitutie geldt:
LaTeX <--> LaTeX
De homogene vergelijking is dan:
LaTeX <--> LaTeX
LaTeX voldoet niet, dus er moet gelden dat LaTeX

En dat geeft:
LaTeX

Dus dan is de algemene oplossing van de homogene vergelijking:
LaTeX

Toch?

#6

wesleyc

    wesleyc


  • >25 berichten
  • 99 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 00:18

spot on. :)

Mij is trouwens geleerd te delen door LaTeX maar dat maakt volgens mij niks uit :)
Je weet nu de particuliere oplossing te vinden?

Veranderd door wesleyc, 17 januari 2012 - 00:19


#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 00:41

Sinds de middelbare school is me al aangeleerd om aan te geven als er één niet 'voldoet', dus dat doe ik eigenlijk nog steeds. Door u^n delen doe ik eigenlijk ook, maar met een omweg.

Eerlijk gezegd weet ik nu niet hoe ik verder moet...

#8

wesleyc

    wesleyc


  • >25 berichten
  • 99 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 20:34

Je moet voor LaTeX een mogelijke waarde kiezen. Deze moet lijken op het inhomogene gedeelte, op 1 dus.

Vervolgens ga je dit invullen, daaruit krijg je de particuliere oplossing. Je hebt dan iets van de vorm LaTeX
Waar C nu bekend is. Je kan nu met de gegeven waardes van LaTeX de onbekenden A en B berekenen.

Succes!

Hier nog een handige link:
http://www.win.tue.n...binatoriek2.pdf

Veranderd door wesleyc, 17 januari 2012 - 20:35


#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 20:42

Bedankt voor je antwoord, maar eigenlijk begrijp ik niet wat ik vervolgens moet doen. Uit die link heb ik begrepen dat ik op zoek moet naar 'iets' dat op 1 lijkt. Waarom en hoe gaat dat in zijn werk?

In die vergelijking zet je trouwens ook een C neer om hem aan de rechterkant van het =-teken weer weg te halen, waarom?

#10

wesleyc

    wesleyc


  • >25 berichten
  • 99 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 22:32

die C had daar moeten staan :)

Je weet dat de oplossing die je nu hebt van het homogene deel is, met andere woorden, de uitkomst is 0. Het inhomogene deel wordt dus direct veroorzaakt door de particuliere oplossing.

Als je inhomogene deel van de vorm LaTeX is, dan ga je niet als eerste gok LaTeX nemen. Je neemt dus iets waar gemakkelijk LaTeX uit voortkomt. Welke gok kan je dan beter nemen dan LaTeX met nog een constante ervoor? Immers, LaTeX heb je al :)
Dit ga je vervolgens invullen, in jouw geval zou invullen van LaTeX (onverstandig) resulteren in CLaTeX - CLaTeX - CLaTeX = 1. Als je dit oplost krijg je een waarde voor C.

Dit is wat dus ook in die link staat.

#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 januari 2012 - 17:56

Ik heb lang naar je posts gestaard, maar denk dat ik het nu eindelijk doorheb :)

De algemene oplossing voor de homogene vergelijking:
LaTeX .

Voor de particuliere oplossing gebruik ik iets wat op 1 lijkt, dus bijvoorbeeld de constante LaTeX .

Dit invullen in: LaTeX geeft: LaTeX en dus:
LaTeX

Dus de algemene oplossing is voor de inhomogene vergelijking is:
LaTeX
Ik moet nu LaTeX en LaTeX gebruiken om A en B te bepalen, alleen weet ik dan niet hoe ik de n dan moet kiezen. LaTeX voor 0 en LaTeX voor 1? Volgens mij is n niet negatief...

#12

wesleyc

    wesleyc


  • >25 berichten
  • 99 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 januari 2012 - 22:24

en dan betrap ik mezelf even op een foutje.
LaTeX
Je hebt namelijk de algemene oplossing om voor elke willekeurige n het bijbehorende getal uit de reeks te kunnen berekenen. Dit verandert niks aan hoe de oplossing werkt, dit is gewoon foutief overgenomen ergens onderweg.
Als je nog eens goed naar die link kijkt zie je het zelf ook wel :)

Komt er dus op neer, voor LaTeX vul je voor n 0 in.
je krijgt dus:
LaTeX
en nu moet je dus A en B geen bepalen aan de hand van de waardes die je al hebt gekregen.
Als je er niet uitkomt kan je ook even googlen op fibonacci reeks, dit is namelijk een inhomogene versie daarvan met andere voorwaarden. Succes!

#13

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 januari 2012 - 17:38

Ah, dan is het niet zo heel moeilijk op te lossen.
Uit LaTeX volgt dat LaTeX

Dit vervolgens invullen in de formule en onder aanname dat LaTeX geeft:
LaTeX , dus LaTeX

Dus:
LaTeX , toch? :)


Nu zit ik met het volgende probleem:
b) Bepaal LaTeX .

Nou het invullen is niet zo lastig:
LaTeX

Dit met Wolfram Alpha bepalen geeft: LaTeX , maar ik moet het natuurlijk algebraïsch aantonen... Helaas kan Wolfram Alpha de stappen niet aantonen.

#14

wesleyc

    wesleyc


  • >25 berichten
  • 99 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 januari 2012 - 19:05

hoever ben je al met het limiet gekomen? Je kan sowieso al een aantal dingen proberen.

Hieronder staat een hint, als je er niet uitkomt kijk dan maar.







kijk in de teller :)














^(n+1) = ^n*^1

Veranderd door wesleyc, 20 januari 2012 - 19:11


#15

wesleyc

    wesleyc


  • >25 berichten
  • 99 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 januari 2012 - 19:13

je kan ook even een nieuw topic aanmaken, met een limiet als deze zijn er anderen die je nog beter kunnen helpen dan ik





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures