Muizenprobleem

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 16-01-'12, 18:00

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Muizenprobleem

Hallo allemaal,

Er is een vraagstuk waar ik maar niet uitkom. Hopelijk kan ik hier geholpen worden, zoals in het verleden vaak gebeurd is! :)

---

Neem aan dat je op het tijdstip
\(n = 0\)
één paar muizen hebt. Aan het eind van het eerste jaar van hun leven krijgen ze een eerste paar muizen en aan het eind van het tweede jaar nog een tweede paar. Daarna krijgen ze geen nakomelingen meer, maar blijven wel leven. Alle nakomelingen krijgen op dezelfde manier jongen als het oorspronkelijke paar. Het aantal paren muizen aan het eind van
\(n\)
jaren is
\(u_n\)
. Dus op het begin geldt:
\(u_0 = 1\)
en
\(u_1 = 2\)
.

a) Leid een differentiaalvergelijking af voor
\(u_n\)
en los deze op.[/i]

Allereerst ben ik niet zeker hoe het nou met de nakomelingen zit. Het lijkt me dat bedoeld wordt dat een muizenstel per jaar één jong krijgt en die heeft meteen een partner gevonden (dus de ouders produceren elk jaar één paar), of er is hier sprake van incest. Dat kan natuurlijk ook.

Ik heb voor mezelf een stamboomtekening gemaakt en het aantal paren in de eerste jaren bepaald:
\(u_0 = 1, u_1 = 2, u_2 = 4, u_3 = 7, u_4 = 12, u_5 = 20, u_6 = 33\)
.

Na een (lange) tijd viel het me op dat er sprake is van een 'soort' Fibonaccireeks:
\(u_n = u_{n-1} + u_{n-2} + 1\)
.

Als differentiaalvergelijking moet je het als
\(u_n - u_{n-1} - u_{n-2} = 1\)
noteren, denk ik. Dit is een inhomogene vergelijking. Ik weet alleen niet goed hoe ik dit moet oplossen.

Dus ik hoop dat ik even op weg wordt geholpen :)

Alvast bedankt,

Fruitschaal.
Omhoog

Bericht 16-01-'12, 18:37

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Muizenprobleem

Stel een vergelijking op voor
\(a_{n+2}\)
Allereerst ben ik niet zeker hoe het nou met de nakomelingen zit. Het lijkt me dat bedoeld wordt dat een muizenstel per jaar één jong krijgt en die heeft meteen een partner gevonden (dus de ouders produceren elk jaar één paar), of er is hier sprake van incest. Dat kan natuurlijk ook.
Er staat dat een paar muizen een nieuw paar muizen krijgt. Hoe ze dat logistiek precies doen is niet relevant.
Omhoog

Bericht 16-01-'12, 23:15

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Muizenprobleem

Dan lijkt het me dat je simpelweg de formule iets moet ombouwen:
\(u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n} + 1\)
Wat levert dit op?
Omhoog

Bericht 16-01-'12, 23:15

wesleyc

Berichten: 99

Re: Muizenprobleem

die 'soort van Fibonacci reeks' heet een recurrente betrekking of differentievergelijking.



vervang
\(u_{n...}\)
door
\(u^{n...}\)
en los vervolgens de homogene vergelijking op voor de algemene oplossing, ga daarna verder met de particuliere oplossing.
Omhoog

Bericht 16-01-'12, 23:29

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Muizenprobleem

Oké, die eigenschap kende ik niet.

Met die substitutie geldt:
\(u^{n+2} = u^{n+1} + u^n + 1\)
<-->
\(u^{n+2} - u^{n+1} - u^n = 1\)
De homogene vergelijking is dan:
\(u^{n+2} - u^{n+1} - u^n = 0\)
<-->
\(u^n * (u^2 - u - 1) = 0\)
\(u^n = 0\)
voldoet niet, dus er moet gelden dat
\(u^2 - u - 1 = 0\)
En dat geeft:
\(u_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Dus dan is de algemene oplossing van de homogene vergelijking:
\(u_{n+2} = Au_1^n + Bu_2^n = A(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + B(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n\)
Toch?
Omhoog

Bericht 17-01-'12, 00:18

wesleyc

Berichten: 99

Re: Muizenprobleem

spot on. :)

Mij is trouwens geleerd te delen door
\(u^n\)
maar dat maakt volgens mij niks uit :)

Je weet nu de particuliere oplossing te vinden?
Omhoog

Bericht 17-01-'12, 00:41

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Muizenprobleem

Sinds de middelbare school is me al aangeleerd om aan te geven als er één niet 'voldoet', dus dat doe ik eigenlijk nog steeds. Door u^n delen doe ik eigenlijk ook, maar met een omweg.

Eerlijk gezegd weet ik nu niet hoe ik verder moet...
Omhoog

Bericht 17-01-'12, 20:34

wesleyc

Berichten: 99

Re: Muizenprobleem

Je moet voor
\(U_{n+2}\)
een mogelijke waarde kiezen. Deze moet lijken op het inhomogene gedeelte, op 1 dus.

Vervolgens ga je dit invullen, daaruit krijg je de particuliere oplossing. Je hebt dan iets van de vorm
\(U_{n+2} = C + Au_1^n + Bu_2^n = A(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + B(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n\)
Waar C nu bekend is. Je kan nu met de gegeven waardes van
\(U_0 \ en \ U_1\)
de onbekenden A en B berekenen.

Succes!

Hier nog een handige link:

http://www.win.tue.nl/~gpuite/lesbrief/tra...binatoriek2.pdf
Omhoog

Bericht 17-01-'12, 20:42

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Muizenprobleem

Bedankt voor je antwoord, maar eigenlijk begrijp ik niet wat ik vervolgens moet doen. Uit die link heb ik begrepen dat ik op zoek moet naar 'iets' dat op 1 lijkt. Waarom en hoe gaat dat in zijn werk?

In die vergelijking zet je trouwens ook een C neer om hem aan de rechterkant van het =-teken weer weg te halen, waarom?
Omhoog

Bericht 17-01-'12, 22:32

wesleyc

Berichten: 99

Re: Muizenprobleem

die C had daar moeten staan :)

Je weet dat de oplossing die je nu hebt van het homogene deel is, met andere woorden, de uitkomst is 0. Het inhomogene deel wordt dus direct veroorzaakt door de particuliere oplossing.

Als je inhomogene deel van de vorm
\(2^n\)
is, dan ga je niet als eerste gok
\(\frac{1}{2n^3}\)
nemen. Je neemt dus iets waar gemakkelijk
\(2^n\)
uit voortkomt. Welke gok kan je dan beter nemen dan
\(2^n\)
met nog een constante ervoor? Immers,
\(2^n\)
heb je al :)

Dit ga je vervolgens invullen, in jouw geval zou invullen van
\(2^n\)
(onverstandig) resulteren in C
\(2^n\)
- C
\(2^n\)
- C
\(2^n\)
= 1. Als je dit oplost krijg je een waarde voor C.

Dit is wat dus ook in die link staat.
Omhoog

Bericht 19-01-'12, 17:56

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Muizenprobleem

Ik heb lang naar je posts gestaard, maar denk dat ik het nu eindelijk doorheb :)

De algemene oplossing voor de homogene vergelijking:
\(u_{n+2} = Au_1^n + Bu_2^n = A(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + B(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n\)
.

Voor de particuliere oplossing gebruik ik iets wat op 1 lijkt, dus bijvoorbeeld de constante
\(u_n = C\)
.

Dit invullen in:
\(u_{n+2} - u_{n+1} - u_n = 1\)
geeft:
\(C - C - C = 1\)
en dus:
\(C = -1\)
Dus de algemene oplossing is voor de inhomogene vergelijking is:
\(u_{n+2} = A(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + B(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n - 1\)
Ik moet nu
\(u_0 = 1\)
en
\(u_1 = 2\)
gebruiken om A en B te bepalen, alleen weet ik dan niet hoe ik de n dan moet kiezen.
\(n = -2\)
voor 0 en
\(n = -1\)
voor 1? Volgens mij is n niet negatief...
Omhoog

Bericht 19-01-'12, 22:24

wesleyc

Berichten: 99

Re: Muizenprobleem

en dan betrap ik mezelf even op een foutje.
\(u_n = A(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + B(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n - 1\)
Je hebt namelijk de algemene oplossing om voor elke willekeurige n het bijbehorende getal uit de reeks te kunnen berekenen. Dit verandert niks aan hoe de oplossing werkt, dit is gewoon foutief overgenomen ergens onderweg.

Als je nog eens goed naar die link kijkt zie je het zelf ook wel :)

Komt er dus op neer, voor
\(u_0\)
vul je voor n 0 in.

je krijgt dus:
\(1 = A(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^0 + B(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^0 - 1\)
en nu moet je dus A en B geen bepalen aan de hand van de waardes die je al hebt gekregen.

Als je er niet uitkomt kan je ook even googlen op fibonacci reeks, dit is namelijk een inhomogene versie daarvan met andere voorwaarden. Succes!
Omhoog

Bericht 20-01-'12, 17:38

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Muizenprobleem

Ah, dan is het niet zo heel moeilijk op te lossen.

Uit
\(u_0 = 1\)
volgt dat
\(B = 2 - A\)
Dit vervolgens invullen in de formule en onder aanname dat
\(u_1 = 2\)
geeft:
\(A = \frac{2}{5}\sqrt{5} + 1\)
, dus
\(B = 1 - \frac{2}{5}\sqrt{5}\)
Dus:
\(u_n = (\frac{2}{5}\sqrt{5} + 1)(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + (1 - \frac{2}{5}\sqrt{5})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n - 1\)
, toch? :)

Nu zit ik met het volgende probleem:

b) Bepaal
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)
[/i].

Nou het invullen is niet zo lastig:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\frac{2}{5}\sqrt{5} + 1)(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n+1} + (1 - \frac{2}{5}\sqrt{5})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n+1} - 1}{(\frac{2}{5}\sqrt{5} + 1)(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + (1 - \frac{2}{5}\sqrt{5})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n - 1}\)
Dit met Wolfram Alpha bepalen geeft:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)
, maar ik moet het natuurlijk algebraïsch aantonen... Helaas kan Wolfram Alpha de stappen niet aantonen.
Omhoog

Bericht 20-01-'12, 19:05

wesleyc

Berichten: 99

Re: Muizenprobleem

hoever ben je al met het limiet gekomen? Je kan sowieso al een aantal dingen proberen.

Hieronder staat een hint, als je er niet uitkomt kijk dan maar.

kijk in de teller :)

^(n+1) = ^n*^1
Omhoog

Bericht 20-01-'12, 19:13

wesleyc

Berichten: 99

Re: Muizenprobleem

je kan ook even een nieuw topic aanmaken, met een limiet als deze zijn er anderen die je nog beter kunnen helpen dan ik
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”