Springen naar inhoud

Grenzen van een dubbelintegraal vinden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 08:53

Ik ben op zoek naar een manier om zeker te weten welke grenzen je moet gebruiken bij een dubbelintegraal, want ik zie altijd meerdere mogelijkheden die jammergenoeg tot een verschillende uitkomst leiden.

Ik geef een voorbeeldje:

De gezamenlijke PDF van een toevalsvector (X, Y) wordt gegeven door
LaTeX

Nu wordt een vraag gesteld waarbij je een dubbelintegraal moet gebruiken, bijvoorbeeld: bepaal de verwachtingswaarde van E [XY].

Ik weet dat ik dit als volgt kan oplossen:
Om de grenzen te bepalen moet ik kijken naar de vergelijking van mijn grondvlak. In dit geval is dit gewoon y=x, dus de eerste bissectrice waarbij zowel x als y tussen 0 en 1 liggen. Hierbij kan je dus bijvoorbeeld y laten lopen van 0 --> 1 en de grenzen van x worden dan van y -->1. Ik bekom dan:
LaTeX
LaTeX (dit is de correcte oplossing)

Anderzijds kan ik ook x als 'vast' nemen en y laten variŽren. x zal nu lopen van 0 --> 1 en y van 0 --> x.
Ik bekom dan:
LaTeX
LaTeX (dit is de correcte oplossing)

Maar nu zie ik nog twee mogelijkheden, die beiden echter tot een fout resultaat leiden:
Ik kan y weer laten lopen van 0 --> 1 en dan x van 0 --> y. Dan bekom ik dit:
LaTeX
LaTeX (dit is een foute oplossing)

Ik kan ook x laten lopen van 0 -->1 en dan y van x-->1. Dan bekom ik dit:
LaTeX
LaTeX (dit is een foute oplossing)

Ik vermoed echter dat de laatste twee integralen normaal dezelfde uitkomst zouden moeten geven (klopt dit vermoeden?), maar dat ik hier dus waarschijnlijk een rekenfoutje gemaakt heb die ik niet meteen vind.

Nu goed: vertrekkend dus van deze voorwaarde: LaTeX hoe kan ik zeker weten welke grenzen ik moet gebruiken? Want ik zie zelf geen reden om de ene boven de andere te verkiezen?

Bedankt alvast!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 11:05

Als je het gebied tekent dan merk je op dat in dat "vierkant" ook moet gelden y<x. In de eerste twee integralen doe je dat inderdaad. Over de andere neem je het vierkant behalve de driehoek van de eerste twee integralen. Dat kan niet, omdat de functie niet symmetrisch is in y=x (of een andere lijn) - je integreert over een ander stukje domein van dezelfde functie...

Teken het gebied even, dan zie je het meteen.. Als ik de vierde integraal uitreken, dan kom ik op 10/28 uit, bij de derde ook.

#3

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 12:27

Overigens, het woord "symmetrisch" heb ik (strikt) verkeerd gebruikt.

#4

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2012 - 12:56

Natuurlijk! Je hebt volledig gelijk. Bedankt voor de hulp Axioma91!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures