krommes in het platte vlak

lsc

Stel we tekenen in het platte vlak n gesloten krommen. Als elk van deze krommen elke andere in twee punten snijdt en geen enkel drietal krommen door een punt gaat, in hoeveel gebieden wordt het plattevlak dan door deze krommen verdeelt?

Wie o Wie helpt me uit de brand

zit inmiddels al een uur te puzzelen met het wil nog niet echt lukken!

Anonymous

Er zijn tal van manieren om dit op te lossen.

Ikzelf geef de voorkeur aan een recurrente betrekking om daarna een

expliciete uitdrukking te vinden.

Laat s_{n-1} het aantal aantal gebieden voor n-1 krommen.

Als we nu een kromme erbij tekenen, dus in totaal hebben we dan n

krommen, verkrijgen we s_{n} gebieden. Welnu, we hebben reeds die

s_{n-1} gebieden en als we nu een nieuwe kromme trekken door n-1

eerdere krommen krijgen we er 2(n-1) gebieden bij.

Immers een elke lijn verdeelt een gebied in 2 gebieden.

We vinden dus de recurrente betrekking:

s_{n} = s_{n-1} + 2(n-1) ..... (n >=1)

In feite ben je nu al klaar, maar een functie s : [1, inf) --> IN is netter.

Laten we nu een exachte uitdrukking voor s(n) bepalen.

Probeer gewoon s(n) = an^2 + bn + c

Dan is:

s(n-1) + 2(n-1) =

a(n-1)^2 + b(n-1) + c + 2(n-1) =

an^2 - 2an + a + bn - b + c + 2n - 2 =

an^2 + (2 + b - 2a)n + (a - b + c - 2)

Gelijkstelling van coefficienten levert:

a = 1, b = -1 en c nader te bepalen

Dus:

s(n) = n^2 - n + c

Met s_{1} = 2 vinden we c = 2

Zodat het aantal gebieden is:

s(n) = n^2 - n + 2 ..... voor alle n >= 1

Tabelletje:

=========

n............s(n)

----------------

1............2

2............4

3............8

4............14

5............22

Anonymous

Oh, er zit een klein slordigheidje in het bovenstaande, de recurrente betrekking geldt voor n >= 2. De expliciete uitdrukking voldoet ook nog eens voor n = 1.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

krommes in het platte vlak

krommes in het platte vlak

Re: krommes in het platte vlak

Re: krommes in het platte vlak