Beste mensen van het wetenschapforum,
Ik ben nu bezig met een oefententamen voor het vak Lineaire analyse. De vraag is:
stel F: V --> W is een lineaire afbeelding van vectorruimte V naar vectorruimte W. Neem F aan dat het inverteerbaar is, dus F^1: W --> V is met de eigenschap FF^-1 en F^-1F = I. Toon aan de F^-1 lineair is
Nu heb ik als antwoord:
F*F^-1 en F^-1*F geven de I aan. Dat betekent dat F symmetrisch is en dat het inverteerbaar is.
Dit zijn de eigenschappen van zelf-geadjugeerd. Met dit betekent dat F^-1 lineair is.
Mijn vraag is:
Is dit goed? Zo nee, zit ik in de goede richting?
mvg,
Piet
Laatste berichten
-
10:25
Herleiden afmetingen vanaf een foto 1
-
07:53
Rotatie van het heelal 25
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Lineair en inverteerbaar
-
- Berichten: 10.179
Re: Lineair en inverteerbaar
Dus elke inverteerbare matrix is symmetrischF*F^-1 en F^-1*F geven de I aan. Dat betekent dat F symmetrisch is en dat het inverteerbaar is.
? Dat is iets te kort door de bocht.Grijp naar je definitie: wat is een lineaire afbeelding?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 32
Re: Lineair en inverteerbaar
een lineaire afbeelding is toch een mapping van de ene ruimte naar de andere en deze is in dit geval inverteerbaar.
Is het dan zo als F lineair is dat de geïnverteerde ook lineair is?
Maar als F*F^1 en F^-1*F gelijk is aan de identiteit dan is F toch symmetrisch?
Is het dan zo als F lineair is dat de geïnverteerde ook lineair is?
Maar als F*F^1 en F^-1*F gelijk is aan de identiteit dan is F toch symmetrisch?
-
- Berichten: 10.179
Re: Lineair en inverteerbaar
Niet echt. Een lineaire afbeelding f, is een afbeelding zodat f(v + w) = f(v) + f(w) met v en w in de vectorruimte waaruit je vertrekt. Klik.piet klaassen schreef:een lineaire afbeelding is toch een mapping van de ene ruimte naar de andere en deze is in dit geval inverteerbaar.
Is het dan zo als F lineair is dat de geïnverteerde ook lineair is?
Hoe kom je daarbij? Dan zouden dus enkel symmetrische matrices inverteerbaar zijn? Bijv:Maar als F*F^1 en F^-1*F gelijk is aan de identiteit dan is F toch symmetrisch?
\(\begin{pmatrix}1 & 5 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
is toch inverteerbaar?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineair en inverteerbaar
Maar niet elke 'mapping' (afbeelding) is toch lineair?! Wat je hier moet tonen is: als F een inverteerbare lineaire afbeelding is, dan is de inverse afbeelding ook linear. Wat is de definitie van een lineaire afbeelding?een lineaire afbeelding is toch een mapping van de ene ruimte naar de andere en deze is in dit geval inverteerbaar.
én waarbij f(kv) = k.f(v) met v element van de vectorruimte en k een scalair.Niet echt. Een lineaire afbeelding f, is een afbeelding zodat f(v + w) = f(v) + f(w) met v en w in de vectorruimte waaruit je vertrekt. Klik.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.246
Re: Lineair en inverteerbaar
Zoiets?
Stel
Stel
\(u,v \in V \)
dan\( F^{-1} (u+v) =F*I*(u+v)=F^{-1}*F^{-1}*F(u+v) = F^{-1}*F^{-1}*(F(u)+F(v)) = F^{-1} (u) + F^{-1} (v) \)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 10.179
Re: Lineair en inverteerbaar
Ja, maar begrijp je het ook? Want je hebt duidelijk veel misverstanden rond 'inverteerbaar', 'lineair', ... Een oplossing is dan het minst van je zorgen.
@Dirk: dat is inderdaad een manier.
@Dirk: dat is inderdaad een manier.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 4.246
Re: Lineair en inverteerbaar
Ok, bedankt voor de verificatie.@Dirk: dat is inderdaad een manier.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 32
Re: Lineair en inverteerbaar
Ik snapte de opgave niet. Ik was vooral in de war met F^-1*F = I en F*F^-1 = I.
De eisen waaraan een lineaire afbeelding moet voldoen is mij nu duidelijk.
De eisen waaraan een lineaire afbeelding moet voldoen is mij nu duidelijk.
-
- Berichten: 10.179
Re: Lineair en inverteerbaar
Kun je dan nu nog het bewijs geven dat
\(F^{-1}(av) = a F^{-1}(v)\)
met a een scalair? Dat is de tweede eis voor een lineaire afbeelding.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 32
Re: Lineair en inverteerbaar
Zoiets:
F^-1(av) = F*I*(av) = F*F^-1*F(av) = I*F(av) =a*I*F(v) = a*F^-1(v)
F^-1(av) = F*I*(av) = F*F^-1*F(av) = I*F(av) =a*I*F(v) = a*F^-1(v)
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineair en inverteerbaar
dirkwb schreef:\( F^{-1} (u+v) =F*I*(u+v)=F^{-1}*F^{-1}*F(u+v) = F^{-1}*F^{-1}*(F(u)+F(v)) = F^{-1} (u) + F^{-1} (v) \)Misschien mis ik iets, maar hoe komen jullie erbij dat F.I hetzelfde is als F-1...?F^-1(av) = F*I*(av) = F*F^-1*F(av) = I*F(av) =a*I*F(v) = a*F^-1(v)
Met I bedoelen jullie toch de identiteit, veronderstel ik?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.246
Re: Lineair en inverteerbaar
Typefoutje en I is inderdaad de identiteit.Misschien mis ik iets, maar hoe komen jullie erbij dat F.I hetzelfde is als F-1...?
\( F^{-1} (u+v) =F^{-1}*I*(u+v)=F^{-1}*F^{-1}*F(u+v) = F^{-1}*F^{-1}*(F(u)+F(v)) = F^{-1} (u) + F^{-1} (v) \)
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineair en inverteerbaar
Gewoon voor de duidelijkheid; wat gebeurt er dan in die laatste overgang?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
