Springen naar inhoud

Lineair en inverteerbaar


  • Log in om te kunnen reageren

#1

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:07

Beste mensen van het wetenschapforum,

Ik ben nu bezig met een oefententamen voor het vak Lineaire analyse. De vraag is:
stel F: V --> W is een lineaire afbeelding van vectorruimte V naar vectorruimte W. Neem F aan dat het inverteerbaar is, dus F^1: W --> V is met de eigenschap FF^-1 en F^-1F = I. Toon aan de F^-1 lineair is

Nu heb ik als antwoord:
F*F^-1 en F^-1*F geven de I aan. Dat betekent dat F symmetrisch is en dat het inverteerbaar is.
Dit zijn de eigenschappen van zelf-geadjugeerd. Met dit betekent dat F^-1 lineair is.

Mijn vraag is:
Is dit goed? Zo nee, zit ik in de goede richting?

mvg,
Piet

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:12

F*F^-1 en F^-1*F geven de I aan. Dat betekent dat F symmetrisch is en dat het inverteerbaar is.

Dus elke inverteerbare matrix is symmetrisch :)? Dat is iets te kort door de bocht.

Grijp naar je definitie: wat is een lineaire afbeelding?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:18

een lineaire afbeelding is toch een mapping van de ene ruimte naar de andere en deze is in dit geval inverteerbaar.
Is het dan zo als F lineair is dat de ge´nverteerde ook lineair is?

Maar als F*F^1 en F^-1*F gelijk is aan de identiteit dan is F toch symmetrisch?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:35

een lineaire afbeelding is toch een mapping van de ene ruimte naar de andere en deze is in dit geval inverteerbaar.
Is het dan zo als F lineair is dat de ge´nverteerde ook lineair is?

Niet echt. Een lineaire afbeelding f, is een afbeelding zodat f(v + w) = f(v) + f(w) met v en w in de vectorruimte waaruit je vertrekt. Klik.

Maar als F*F^1 en F^-1*F gelijk is aan de identiteit dan is F toch symmetrisch?

Hoe kom je daarbij? Dan zouden dus enkel symmetrische matrices inverteerbaar zijn? Bijv: LaTeX is toch inverteerbaar?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:38

een lineaire afbeelding is toch een mapping van de ene ruimte naar de andere en deze is in dit geval inverteerbaar.

Maar niet elke 'mapping' (afbeelding) is toch lineair?! Wat je hier moet tonen is: als F een inverteerbare lineaire afbeelding is, dan is de inverse afbeelding ook linear. Wat is de definitie van een lineaire afbeelding?

Niet echt. Een lineaire afbeelding f, is een afbeelding zodat f(v + w) = f(v) + f(w) met v en w in de vectorruimte waaruit je vertrekt. Klik.

Ún waarbij f(kv) = k.f(v) met v element van de vectorruimte en k een scalair.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:47

Zoiets?

Stel LaTeX dan

LaTeX
Quitters never win and winners never quit.

#7

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:50

Okay dankjewel!
Ik heb hem opgelost.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 16:52

Ja, maar begrijp je het ook? Want je hebt duidelijk veel misverstanden rond 'inverteerbaar', 'lineair', ... Een oplossing is dan het minst van je zorgen.

@Dirk: dat is inderdaad een manier.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 17:00

@Dirk: dat is inderdaad een manier.

Ok, bedankt voor de verificatie.
Quitters never win and winners never quit.

#10

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 17:05

Ik snapte de opgave niet. Ik was vooral in de war met F^-1*F = I en F*F^-1 = I.
De eisen waaraan een lineaire afbeelding moet voldoen is mij nu duidelijk.

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 17:11

Kun je dan nu nog het bewijs geven dat LaTeX met a een scalair? Dat is de tweede eis voor een lineaire afbeelding.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

piet klaassen

    piet klaassen


  • >25 berichten
  • 32 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2012 - 17:22

Zoiets:

F^-1(av) = F*I*(av) = F*F^-1*F(av) = I*F(av) =a*I*F(v) = a*F^-1(v)

Veranderd door piet klaassen, 18 januari 2012 - 17:23


#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2012 - 17:51

Bericht bekijken

F^-1(av) = F*I*(av) = F*F^-1*F(av) = I*F(av) =a*I*F(v) = a*F^-1(v)

Misschien mis ik iets, maar hoe komen jullie erbij dat F.I hetzelfde is als F-1...?

Met I bedoelen jullie toch de identiteit, veronderstel ik?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2012 - 17:57

Misschien mis ik iets, maar hoe komen jullie erbij dat F.I hetzelfde is als F-1...?

Typefoutje en I is inderdaad de identiteit.

LaTeX
Quitters never win and winners never quit.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2012 - 18:00

Gewoon voor de duidelijkheid; wat gebeurt er dan in die laatste overgang?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures