Pagina 1 van 2
Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 20:06
door Jaimy11
Hallo,
Ik ben bezig met een oefententamen voor mijn toets morgen, maar ik begrijp deze vraag niet goed:
Voor permutaties
\(\sigma\)
: 7 -> 7 definieren we de eigenschap P(
\(\sigma\)
) door:
P(
\(\sigma\)
) :
\(\sigma^5 = id\)
maar
\(\sigma \neq id\)
waarbij id: 7 -> 7 de identieke afbeelding op 7 is.
(ps ik bedoel bij elke 7, een 7 met een streepje eronder)
1. Geef een voorbeeld van een permutatie zodat P(
\(\sigma\)
) geldt.
Ik weet niet of ik begrijp wat er bedoelt wordt?
\((1 2 3 4 5)(6)(7)\)
of
\((1 2 3 4 5)(6 7)\)
?
2. Laat zien dat, voor een permutatie , P(
\(\sigma\)
) geldt dan en slechts dan als een 5-cykel is.
Iemand een hint?
3. Voor hoeveel permutaties van 7 geldt P(
\(\sigma\)
)?
\(7 \choose 5\)
maar voor elke combinatie zijn er nu veel, omdat er sprake is van een cykel.
dus bijv
\((1 2 3 4 5) = (2 3 4 5 1)\)
dus er zijn teveel opties met
\(7 \choose 5\)
.
Maar hoe elimineer ik dezelfde oplossingen?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 21:09
door Drieske
Jaimy11 schreef:Voor permutaties
\(\sigma\)
: 7 -> 7 definieren we de eigenschap P(
\(\sigma\)
) door:
P(
\(\sigma\)
) :
\(\sigma^5 = id\)
maar
\(\sigma \neq id\)
waarbij id: 7 -> 7 de identieke afbeelding op 7 is.
(ps ik bedoel bij elke 7, een 7 met een streepje eronder)
Voor de veiligheid: bedoel je daarmee dan de permutaties van {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Zoja, dan
2. Laat zien dat, voor een permutatie , P(
\(\sigma\)
) geldt dan en slechts dan als een 5-cykel is.
ontbreekt hier nog iets lijkt me. Zeker van de opgave?
Je kunt het overigens zelf eens uittesten bij vraag 1: doe jouw twee voorstellen tot de vijfde en kijk wat er uitrolt. Tot de vijfde is nog net doenbaar met de hand
. Deze vraag zou je ook meteen een idee moeten geven bij vraag 2.
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 21:24
door Jaimy11
Voor de veiligheid: bedoel je daarmee dan de permutaties van {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Zoja, dan
Ja.
ontbreekt hier nog iets lijkt me. Zeker van de opgave?
Er zijn idd 2 sigma's weggevallen:
Laat zien dat, voor een permutatie
\(\sigma\)
niet in dat
\((1 2 3 4 5)(6 7)\)
de gezochte permutatie is?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 21:31
door Drieske
Ik begrijp niet wat de vraagstelling precies inhoudt, misschien dat ik dan beter kan antwoorden?
Bij het eerste begrijp je de vraag niet goed? Je begrijpt wat een macht van een permutatie is? Ik zal het voordoen eventueel (op (12345) - wat overigens hetzelfde is als (12345)(6)(7)) (mijn mislukte streepjes met v'tjes zijn pijltjes van: wordt afgebeeld op)
Code: Selecteer alles
1 2 3 4 5
| | | | |
v v v v v
2 3 4 5 1
| | | | |
v v v v v
3 4 5 1 2
En dat doe je zo 5 keer (vraag: hoeveel keer heb ik reeds gedaan?). Dit is een zeer visuele voorstelling van wat je bij zo'n cykels eigenlijk doet. Eentje die, naar mijn mening, in het begin kan helpen bij het ontwikkelen van gevoel daaromtrent.
Overigens is wat je in vraag 2 moet bewijzen een speciaal geval van iets veel algemeners (wat ik nog niet zal verraden
).
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 21:54
door Jaimy11
Drieske schreef:Bij het eerste begrijp je de vraag niet goed? Je begrijpt wat een macht van een permutatie is? Ik zal het voordoen eventueel (op (12345) - wat overigens hetzelfde is als (12345)(6)(7)) (mijn mislukte streepjes met v'tjes zijn pijltjes van: wordt afgebeeld op)
Code: Selecteer alles
1 2 3 4 5
| | | | |
v v v v v
2 3 4 5 1
| | | | |
v v v v v
3 4 5 1 2
En dat doe je zo 5 keer (vraag: hoeveel keer heb ik reeds gedaan?). Dit is een zeer visuele voorstelling van wat je bij zo'n cykels eigenlijk doet. Eentje die, naar mijn mening, in het begin kan helpen bij het ontwikkelen van gevoel daaromtrent.
Overigens is wat je in vraag 2 moet bewijzen een speciaal geval van iets veel algemeners (wat ik nog niet zal verraden
).
Dit zijn 3 permutaties.
Maar ik dacht dat vanwege de cykel zou gelden dat (1 2 3 4 5) = (2 3 4 5 1)?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 21:59
door Drieske
Dat zijn twee permutaties (de bovenste situatie is immers je beginsituatie)... Maw, als s=(12345), dan staat daar nu s². En s² wordt gegeven door: 1 gaat naar 3, 2 naar 4, 3 naar 5, 4 naar 1 en 5 naar 2. Dus s² = (13524). Snap je?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:01
door Jaimy11
Dat zijn twee permutaties (de bovenste situatie is immers je beginsituatie)... Maw, als s=(12345), dan staat daar nu s². En s² wordt gegeven door: 1 gaat naar 3, 2 naar 4, 3 naar 5, 4 naar 1 en 5 naar 2. Dus s² = (13524). Snap je?
Ja.
Ik telde de beginsituatie idd mee.
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:08
door Drieske
Maar snap je de uitwerking ook die ik gaf?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:15
door Jaimy11
Maar snap je de uitwerking ook die ik gaf?
Ja, je kunt het interpreteren als de f(g(1))=3 toch?
Op die manier iig.
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:18
door Drieske
Dat is inderdaad wat je doet. En nu moet je dus kijken of (12345)^5 = id. Liefst wel uiteraard
gezien vraag 2. Maar nog liever zien we ook dat: ((12345)(67))^5
niet de id geeft. Ga dat eens na nu.
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:23
door Jaimy11
Dat is inderdaad wat je doet. En nu moet je dus kijken of (12345)^5 = id. Liefst wel uiteraard
gezien vraag 2. Maar nog liever zien we ook dat: ((12345)(67))^5
niet de id geeft. Ga dat eens na nu.
Die geeft (1 2 3 4 5)(7 6) terug toch?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:25
door Drieske
Inderdaad... Zie je nu ook de algemene logica hiervan in?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:34
door Jaimy11
Inderdaad... Zie je nu ook de algemene logica hiervan in?
Ik denk het wel.
Voor vraag 1 was iig gewoon een antwoord bijv (1 2 3 4 5)(6 7) --> (2 1 5 4 3)(7 6) ?
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:46
door Drieske
Voor vraag 1 was iig gewoon een antwoord bijv (1 2 3 4 5)(6 7) --> (2 1 5 4 3)(7 6) ?
Jeps. Ik zat hierbij zelf even mis in een eerdere post (negeer dat dus maar
). Maar is (12345)(6)(7) ook een voorbeeld?
En zou je nu ook het bewijs van 2 kunnen beginnen? Eén richting zou triviaal moeten zijn.
Re: Permutaties
Geplaatst: do 19 jan 2012, 22:51
door Jaimy11
Jeps. Ik zat hierbij zelf even mis in een eerdere post (negeer dat dus maar
). Maar is (12345)(6)(7) ook een voorbeeld?
Volgens mij niet vanwege die regel waarin staat dat
\(\sigma \neq id\)
?
En zelfs als dat zo is, dan weet ik nog niet hoe ik verder zou moeten....