Hoi
Ik heb nu al enkele uren verspild aan het oplossen van volgende integraal
\(\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cos(\theta)}, a>b>0\)
. Ik los deze op door eerst over te gaan naar de complexe getallen en daarna de residuestelling te gebruiken. Hier volgt mijn uitwerking.
\(\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cos(\theta)} = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cdot\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)} =^* \int_{|z| = 1} \frac{\frac{dz}{iz}}{a+b\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)}\)
Bij de gelijkheid met het * heb ik gesteld dat
\(z = e^{i\theta}\)
dus ligt z op de cirkel met straal 1. Verder geldt dan dat
\(dz = i\cdot e^{i\theta}\cdot d\theta = iz\cdot d\theta\)
.
Daarna haal ik de
\((iz)^{-1}\)
naar de noemer en breng de z naar binnen zodat de noemer er als
\(\frac{b}{2}z^2+az+\frac{b/2}\)
uitziet. Dan zoek ik de nulpunten z
+ en z
- om de tweedegraadsvergelijking te ontbinden.
Ik vond de nulpunten als zijnde
\(z_\pm = \frac{-a\pm \sqrt{a^2-b^2}}{b}\)
.
De functie is dan
\(\frac{-2\cdot i}{b(z-z_+)(z-z_-)}\)
.
Deze is van de vorm
\(\frac{g(z)}{(z-z_\pm)}\)
dan volgt dat
\(Res(f, z_+) = \frac{1}{z_+-z_-} = \frac{-b}{2\sqrt{a^2-b^2}}\)
en
\(Res(f, z_-) = \frac{-b}{2\sqrt{a^2-b^2}}\)
.
Dan is de som van de residu's gelijk aan 0 dus ook de integraal is 0. De uitwerking met de constantes heb ik even achterwege gelaten.
Terwijl ik met Maple berekend heb dat het gelijk moet zijn aan
\(\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\)
.
Ik heb tenslotte de functie ook nog omgezet naar partieelbreuken waarna ik de representatieformule van Cauchy (
\(\int_{|z-z_0|=r} \frac{1}{z-z_0}dz = 2\pi i\cdot f(z_0)\)
) heb gebruikt om dit uit te rekenen (samen met het deformatieprincipe dat zegt dat als ik cirkels rond de punten waar f(z)/(z-z
0) niet analytisch is en elkaar niet snijden, de som van de lijnintegralen over deze cirkels gelijk zijn aan de lijnintegraal over de cirkel die rond al deze punten ligt).
Ook hier kwam ik weer op 0 uit.
Ziet iemand waar ik een fout maak? Of is maple fout?
mvg
JorisL