Goniometrische integraal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 555

Goniometrische integraal

Hoi

Ik heb nu al enkele uren verspild aan het oplossen van volgende integraal
\(\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cos(\theta)}, a>b>0\)
. Ik los deze op door eerst over te gaan naar de complexe getallen en daarna de residuestelling te gebruiken. Hier volgt mijn uitwerking.
\(\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cos(\theta)} = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\cdot\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)} =^* \int_{|z| = 1} \frac{\frac{dz}{iz}}{a+b\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)}\)
Bij de gelijkheid met het * heb ik gesteld dat
\(z = e^{i\theta}\)
dus ligt z op de cirkel met straal 1. Verder geldt dan dat
\(dz = i\cdot e^{i\theta}\cdot d\theta = iz\cdot d\theta\)
.

Daarna haal ik de
\((iz)^{-1}\)
naar de noemer en breng de z naar binnen zodat de noemer er als
\(\frac{b}{2}z^2+az+\frac{b/2}\)
uitziet. Dan zoek ik de nulpunten z+ en z- om de tweedegraadsvergelijking te ontbinden.

Ik vond de nulpunten als zijnde
\(z_\pm = \frac{-a\pm \sqrt{a^2-b^2}}{b}\)
.

De functie is dan
\(\frac{-2\cdot i}{b(z-z_+)(z-z_-)}\)
.

Deze is van de vorm
\(\frac{g(z)}{(z-z_\pm)}\)
dan volgt dat
\(Res(f, z_+) = \frac{1}{z_+-z_-} = \frac{-b}{2\sqrt{a^2-b^2}}\)
en
\(Res(f, z_-) = \frac{-b}{2\sqrt{a^2-b^2}}\)
.

Dan is de som van de residu's gelijk aan 0 dus ook de integraal is 0. De uitwerking met de constantes heb ik even achterwege gelaten.

Terwijl ik met Maple berekend heb dat het gelijk moet zijn aan
\(\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\)
.

Ik heb tenslotte de functie ook nog omgezet naar partieelbreuken waarna ik de representatieformule van Cauchy (
\(\int_{|z-z_0|=r} \frac{1}{z-z_0}dz = 2\pi i\cdot f(z_0)\)
) heb gebruikt om dit uit te rekenen (samen met het deformatieprincipe dat zegt dat als ik cirkels rond de punten waar f(z)/(z-z0) niet analytisch is en elkaar niet snijden, de som van de lijnintegralen over deze cirkels gelijk zijn aan de lijnintegraal over de cirkel die rond al deze punten ligt).

Ook hier kwam ik weer op 0 uit.

Ziet iemand waar ik een fout maak? Of is maple fout?

mvg

JorisL

Berichten: 4.246

Re: Goniometrische integraal

Een t-substitutie moet goed werken hier.
Quitters never win and winners never quit.

Berichten: 555

Re: Goniometrische integraal

Die oplossing heb ik gevonden ja. Maar ik moet het op deze manier doen. Dat is nu net het punt bij een examen.

Verder vind ik deze methode veel makkelijker en minder gevaarlijk voor schrijffouten. Bij andere integralen lukte het wel allemaal (vlugger dan bvb met zo'n t-substitutie).

Berichten: 555

Re: Goniometrische integraal

Heb het probleem gevonden. Alleen z+ heeft een modulus kleiner dan 1 met het gegeven dat a>b>0.

Dan kom ik er wel ongeveer, alleen nog wat constantes die door elkaar lopen maar dat is doordat ik niet zo ordelijk te werk ben gegaan.

Reageer