ik heb een oef. gemaakt op limieten, de gebruikte methode werkt wel om tot een correct oplossing te komen. Maar bij het zoeken naar de liiet naar - oneindig, lukt dit dan weer niet... Hoe komt dit?
Tegenstrijdige limiet
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 232
Tegenstrijdige limiet
Dag
ik heb een oef. gemaakt op limieten, de gebruikte methode werkt wel om tot een correct oplossing te komen. Maar bij het zoeken naar de liiet naar - oneindig, lukt dit dan weer niet... Hoe komt dit?
ik heb een oef. gemaakt op limieten, de gebruikte methode werkt wel om tot een correct oplossing te komen. Maar bij het zoeken naar de liiet naar - oneindig, lukt dit dan weer niet... Hoe komt dit?
\(\lim _{x \rightarrow +\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5})\)
=\(\lim _{x \rightarrow +\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5}).\frac{(x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5})}{(x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5})}\)
\(\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{2}{1+\frac{3}{x}+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}}+\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x}+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}}\)
=\(1\)
\(\lim _{x \rightarrow -\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5})\)
=\(-\infty\)
Dankjewel voor je hulp.- Pluimdrager
- Berichten: 6.590
Re: Tegenstrijdige limiet
In de derde regel zie ik in de teller 2 staan.
Ik krijg het volgende
Ik krijg het volgende
\(\lim_{x\to + \infty} \frac{2x+4}{x+3+ \sqrt{x^2+4x+5}} \)
-
- Berichten: 232
Re: Tegenstrijdige limiet
En als je jouw (tussen)resultaat verder uitschrijft kom je toch aan mijn 3de regel..niet ?
Indien dit alles klopt geldt m'n vraag nog steeds, waarom dit niet werkt bij de limiet naar -oneindig.
Dankjewel.
Indien dit alles klopt geldt m'n vraag nog steeds, waarom dit niet werkt bij de limiet naar -oneindig.
Dankjewel.
- Pluimdrager
- Berichten: 6.590
Re: Tegenstrijdige limiet
Sorry, voor mijn onduidelijke bericht.
Die eerste limiet heb je volgens mij goed berekent.
Uit die tweede limiet blijkt inderdaad min oneindig uit te komen.
Ik heb de substitutie x=-y geprobeert, maar dan kom ik er ook niet uit
Als ik de limiet intik op de site van Wolframalpha , dan laten ze , behalve het eindantwoord ook de berekening zien.
Je kan dan het volgende intypen;
limit (x+3-(x^2+4x+5)^.5) as x -> - infinity
Die eerste limiet heb je volgens mij goed berekent.
Uit die tweede limiet blijkt inderdaad min oneindig uit te komen.
Ik heb de substitutie x=-y geprobeert, maar dan kom ik er ook niet uit
Als ik de limiet intik op de site van Wolframalpha , dan laten ze , behalve het eindantwoord ook de berekening zien.
Je kan dan het volgende intypen;
limit (x+3-(x^2+4x+5)^.5) as x -> - infinity
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Tegenstrijdige limiet
Bewerk die tweede regel eens wat uitgebreider ...hwgxx7 schreef:\(\lim _{x \rightarrow +\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5})\)=
\(\lim _{x \rightarrow +\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5}).\frac{(x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5})}{(x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5})}\)
Wat wordt de teller precies ...
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Tegenstrijdige limiet
Stel hier eerst y=-x als x naar - oneindig gaat, gaat y naar ...\(\lim _{x \rightarrow -\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5})\)=\(-\infty\)
Verder dezelfde hint als boven ...
-
- Berichten: 232
Re: Tegenstrijdige limiet
WolframAlpha geeft idd. de gebruikte tussenstappen weer, en deze lijken correct/logisch..
Bij de uitwerking voor
Ik zal ff. mijn uitwerking geven:
vanaf regel 2 heb ik het als volgt gedaan:
Ik bemerk niet direct iets verkeerd op aan m'n uitwerking, misschien dat ik op een foute manier de x-term weghaal uit de vierkantswortel in de noemer?
Merci trouwens voor die handige website: WolframAlpha!
De afleiding die WolframAlpha toepast (voor de limiet naar + oneindig) maakt trouwens gebruik van de regel van de l'Hospital..Ik heb enkel de basis regelstoegepas tom de limiet ui te werken. Dus m'n vraag blijft waarom deze dan niet werkt voor - oneindig..
Bij de uitwerking voor
\(\lim _{x \rightarrow +\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5})\)
geeft hij echter enorm meer tussenstappen weer dan ik eigenlijk gebruikt heb...? Ik zal ff. mijn uitwerking geven:
vanaf regel 2 heb ik het als volgt gedaan:
\(\lim _{x \rightarrow +\infty}(x+3-\sqrt{x^{2}+4x+5}).\frac{(x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5})}{(x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5})}\)
=\(\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{(x+3)^{2}-(x^{2}+4x+5)}{x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5}}\)
=\(\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{(x^{2}+6x+9)-x^{2}-4x-5}{x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5}}\)
=\(\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{2x+4}{x+3+\sqrt{x^{2}+4x+5}}\)
=\(\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{x.(2+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{3}{x}+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}}})\)
Ik bemerk niet direct iets verkeerd op aan m'n uitwerking, misschien dat ik op een foute manier de x-term weghaal uit de vierkantswortel in de noemer?
Merci trouwens voor die handige website: WolframAlpha!
De afleiding die WolframAlpha toepast (voor de limiet naar + oneindig) maakt trouwens gebruik van de regel van de l'Hospital..Ik heb enkel de basis regelstoegepas tom de limiet ui te werken. Dus m'n vraag blijft waarom deze dan niet werkt voor - oneindig..
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Tegenstrijdige limiet
Er is niets fout aan je uitwerking van de eerste limiet, maar waarom splits je de limiet ... , daar moet je voorzichtig mee zijn.
De tweede limiet ... , ik gaf je een hint.
De tweede limiet ... , ik gaf je een hint.
- Berichten: 10.179
Re: Tegenstrijdige limiet
Aansluitend op Safe: waarom het in het tweede geval niet werkt. In het algemeen geldt er
\(\sqrt{x^2} = |x|\)
. In het geval dat x positief is (wat zo is als je naar +oneindig kijkt), is er niets speciaals: dan is |x| = x. Maar als je kijkt naar -oneindig, geldt dat natuurlijk niet. Daar geldt: |x| = -x. Snap je dit?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 232
Re: Tegenstrijdige limiet
Maar als je kijkt naar -oneindig, geldt dat natuurlijk niet. Daar geldt: |x| = -x. Snap je dit?
\(-x=\sqrt{x^{2}}\)
voor negatieve x waardenAls
\( y = -x \)
dan wordt de limiet om gevormd tot:\(\lim _{y \rightarrow +\infty}(-y+3-\sqrt{y^{2}-4y+5})\)
.Ik heb verder gevonde dat hetgeen onder de vierkantswortel staat kan worden vereenvoudigd tot :
\(\sqrt{(y-2)^{2}+1}\)
Daar de limiet naar + oneindig gaat mag 1 worden verwaarloosd, zodat ik kan/mag schrijven dat:
\(\lim _{y \rightarrow +\infty}(-y+3-(y-2))\)
Resultaat is dan ook - oneindig.Door de substitutie uit te voeren vermoed ik dat je ervoor wil zorgen dat je geen foutern maakt met de juiste tekens?
Dankjewel.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Tegenstrijdige limiet
Helemaal correct!hwgxx7 schreef:Als\( y = -x \)dan wordt de limiet om gevormd tot:\(\lim _{y \rightarrow +\infty}(-y+3-\sqrt{y^{2}-4y+5})\).
Ik heb verder gevonde dat hetgeen onder de vierkantswortel staat kan worden vereenvoudigd tot :\(\sqrt{(y-2)^{2}+1}\)
Daar de limiet naar + oneindig gaat mag 1 worden verwaarloosd, zodat ik kan/mag schrijven dat:\(\lim _{y \rightarrow +\infty}(-y+3-(y-2))\)Resultaat is dan ook - oneindig.
Door de substitutie uit te voeren vermoed ik dat je ervoor wil zorgen dat je geen foutern maakt met de juiste tekens?
Dankjewel.
Alleen heb ik liever:
\(\lim _{y \rightarrow +\infty}(-y+3-\sqrt{y^{2}-4y+5})=-\infty\)
.-
- Berichten: 232
Re: Tegenstrijdige limiet
Oké, had het zo genoteerd om te laten zien dat ik de uitwerking wel degelijk begreep .
Bedankt aan iedereen die me holp!
Bedankt aan iedereen die me holp!
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Tegenstrijdige limiet
Mooi!
Heb je ook naar de grafiek gekeken?
Heb je ook naar de grafiek gekeken?
-
- Berichten: 232
Re: Tegenstrijdige limiet
Ja hoor, komt mooi uit. Ik check eerst altijd ff. hoe de grafiek eruitziet van de functie waar ik mee bezig ben.
grtz
grtz