Springen naar inhoud

Fourierreeks van sin(x)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

VincentM

    VincentM


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2012 - 18:06

Hallo,

Ik heb problemen met de volgende vraag:
"Ontwikkel sin(x) in het interval ]0, Pi[ in een fourierreeks met periode Pi".

De oplossing is mij gegeven:
- uitbreiden tot f(x) = sin(x) voor x € ]0, Pi/2]
en f(x) = -sin(x) voor x € [-Pi/2,0]
vervolgens is het gewoon invullen in de gebruikelijke formules.

Kan iemand mij nu intuitief uitleggen hoe men tot deze uitbreiding is gekomen, en hoe men dit in het algemeen aanpakt. Ik heb nog enkele voorbeelden maar zie geen verband.
Trouwens de haakjes mbt het interval zijn me ook niet echt duidelijk :)

Veel dank

Veranderd door VincentM, 23 januari 2012 - 18:15


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 januari 2012 - 21:42

In veel wiskundeboeken wordt zeer uitgebreid fourierreeksen behandeld, ik neem aan dat je dit in je boek kan terugvinden, als dat niet lukt kijk in de lijst van wiskundeboeken.
Quitters never win and winners never quit.

#3

VincentM

    VincentM


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 januari 2012 - 11:17

Ik kan hier toch moeilijk snel een boek voor gaan kopen... :)

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 januari 2012 - 11:23

Wat dirkwb volgens mij bedoelt, is dat je dat voorbeeld toch in iets moet hebben staan? Een boek, online cursus, ... Dus in jouw boek staat waarschijnlijk toch ook iets over Fourierreeksen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 januari 2012 - 13:39

Op het interval [0,pi] is je functie sin(x). Maar omdat ze aangeven dat deze pi-periodiek is, moet je kijken naar hoe de sinus op dat interval eruit. Vervolgens moet het op elk interval [kpi,(k+1)pi] (met k een geheel getal), er exact zo uitzien. Snap je nu waarom ze op het interval [-pi/2,0] naar -sin(x) kijken?

Veranderd door Vogeltjes, 24 januari 2012 - 13:40


#6

VincentM

    VincentM


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2012 - 03:40

Ah het geeft dus niet dat die sin(x) verschoven wordt tegenover de oorsprong, zolang het maar dezelfde vorm als de sinus in dat interval aanhoudt. En hier was het dus nodig om hem in [-Pi/2,0] te spiegelen om de x-as.
Bedankt!
Maar de vraag is dan, waarom zou je hem symmetrisch willen hebben tegenover de y-as? Is dit noodzakelijk bij het integreren (het zoeken van de fouriercoŽfficiŽnten)?

#7

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2012 - 10:12

Ah het geeft dus niet dat die sin(x) verschoven wordt tegenover de oorsprong, zolang het maar dezelfde vorm als de sinus in dat interval aanhoudt. En hier was het dus nodig om hem in [-Pi/2,0] te spiegelen om de x-as.
Bedankt!
Maar de vraag is dan, waarom zou je hem symmetrisch willen hebben tegenover de y-as? Is dit noodzakelijk bij het integreren (het zoeken van de fouriercoŽfficiŽnten)?

Nee, je moet het zien als volgt:
Er is gegeven dat op het interval [0,pi] je functie een (deel van de) sinus is. Omdat ze erbij zeggen dat het pi-periodiek is, moet op ťlk interval [kpi,(k+1)pi] (k geheel) je functie er exact zo uit zien als op [0,pi]. Omdat het op het interval
[-pi,0] de sinus normaal gesproken negatief is, maak je er een -sinus van, zodat hij ook op dat deel er precies zo uit ziet als op [0,pi]. Dus eigenlijk, als je start op [0,pi] is je functie daar sin, volgend interval -sin, volgend interval sin etc.
Dus je wilt hem niet persť symmetrisch houden tov de y-as, maar je wilt dat hij op dat interval er precies zo uitziet als op het gegeven interval, want dan is je functie pi-periodiek. Als het bijvoorbeeld ging om sinus op het interval [0,2pi] en periode 2pi, zou hij namelijk niet meer symmetrisch zijn tov de y-as.
Ze kijken nu nog even specifiek naar [-pi/2,0] omdat je bij je Fouriercoefficienten gaat integreren over je periode T. Vaak integreren ze dan over -T/2 tot T/2. In dit geval moet je dus goed opletten, om wat voor functie het gaat --> je moet je intergraal gaan opsplitsen in 2 delen. (zie je in waarom?)
Maar, omdat het om een periodieke functie gaat, maakt 't niet uit waarover je integreert, zolang het maar over ťťn periode gaat. In dit geval, is het dus handig om te integreren over 0 tot pi , want dan hoef je je integraal niet op te splitsen in 2-en.

Veranderd door Vogeltjes, 25 januari 2012 - 10:17


#8

VincentM

    VincentM


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2012 - 03:45

... je moet je intergraal gaan opsplitsen in 2 delen. (zie je in waarom?)
Maar, omdat het om een periodieke functie gaat, maakt 't niet uit waarover je integreert, zolang het maar over ťťn periode gaat. In dit geval, is het dus handig om te integreren over 0 tot pi , want dan hoef je je integraal niet op te splitsen in 2-en.


Ja je het een -sin(x) en een sin(x), dit zijn twee verschillende functies, dus twee integralen.
Maar neem ik een ander voorbeeld: cos(x) over het interval [0, 3Pi/2]. Is het dan onmogelijk om een fourierreeks op te stellen met periode 3Pi/2? Want ik zou niet meteen weten hoe je de functie op het interval [-3Pi/2,0] moet transformeren om hem er te laten uitzien op het interval [0, 3Pi/2].

#9

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2012 - 14:35

Ja je het een -sin(x) en een sin(x), dit zijn twee verschillende functies, dus twee integralen.
Maar neem ik een ander voorbeeld: cos(x) over het interval [0, 3Pi/2]. Is het dan onmogelijk om een fourierreeks op te stellen met periode 3Pi/2? Want ik zou niet meteen weten hoe je de functie op het interval [-3Pi/2,0] moet transformeren om hem er te laten uitzien op het interval [0, 3Pi/2].

Denk aan een verplaatsing v/d cosinus.. Kun je dan wat bedenken?

#10

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2012 - 23:57

Het belangrijkste is om te beginnen met een simpele schets van het signaal. Daaruit kan je direct de periode en symmetrie eigenschappen opmaken:

Geplaatste afbeelding

Ervan uitgaande dat je met de trigonometric Fourier series wilt werken (er is ook een "complex exponential Fourier Series", net als de trigonometric FS ook voor periodieke signalen):

Geplaatste afbeelding

Het kan zijn dat de formules die in jouw boek staan iets anders genoteerd zijn.

Je zou nu direct de FS coŽfficiŽnten kunnen uitrekenen aan de hand van bovestaande formules. Maar weet je misschien wat de LaTeX coŽfficiŽnt inhoudt, en wat de symmetrie eigenschappen van de Fourier Series zijn?
Zonder enig rekenwerk kan je dan namelijk al een hoop zeggen over de coŽfficiŽnten, dat bespaart je een hoop rekenwerk en het is altijd een goede controle.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#11

VincentM

    VincentM


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 januari 2012 - 03:13

Denk aan een verplaatsing v/d cosinus.. Kun je dan wat bedenken?


Ah -cos(x+Pi/2). Inderdaad zo had ik het nog niet bekeken :)


...
Je zou nu direct de FS coŽfficiŽnten kunnen uitrekenen aan de hand van bovestaande formules. Maar weet je misschien wat de LaTeX

coŽfficiŽnt inhoudt, en wat de symmetrie eigenschappen van de Fourier Series zijn?
Zonder enig rekenwerk kan je dan namelijk al een hoop zeggen over de coŽfficiŽnten, dat bespaart je een hoop rekenwerk en het is altijd een goede controle.


Ja het is een even functie. Even * oneven = oneven, en dus valt de integraal om de bm'en te berekenen weg (een sinus is immers oneven). ao is de gemiddelde waarde?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures