Supremum rij

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 25-01-'12, 10:03

hwgxx7

Berichten: 232

Supremum rij

Bij het bepalen van het supremum van een rij heb ik een probleem met de uitkomst:
\(u_n=\frac{ln(n)}{n}\)
Het n=oneindig elemnt is dan het supremum van deze rij (vermoed ik?)..

Dus als ik dit dmv. de limietstellingen/l'Hospital uitreken kom ik terecht bij:
\(\lim _{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{n}=0\)
, het juiste antwoord volgens m'n opgavenboek is 0.366...

Dankjewel.
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 10:16

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Supremum rij

Waarom zou het supremum 'op oneindig' liggen? Voor n voldoende groot, daalt ln(n)/n dus het supremum ga je daar zeker niet vinden. De functie ln(x)/x bereikt een maximum in x = e, dus je verwacht je supremum rond 2.7, kandidaten zijn n = 2 en n = 3.

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(0,10,-3/2,1/2,300,300,600,600,'ln(x)/x')</script><!--graphend-->
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 10:26

hanzwan

Berichten: 132

Re: Supremum rij

ik denk dat de topic poster niet precies begrijpt wat een supremum is. Daarom stelt hij vanwege de reeks voor om een limiet voor n->oneindig te zoeken. Het supremum is de grootste waarde (of net iets meer dan de grootste waarde) die een reeks of functie aanneemt. Het wordt ook wel de least upper bound genoemd.
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 11:29

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Supremum rij

Had inderdaad een fout idee omtrent het woord supremum, dus gewoon de afgeleide nemen van de 'rijdefinitie'
\(u_n\)
, en dit aan 0 gelijkstellen dan?

@hanzwan: waarom gebruikte je het woord reeks? Het gaat hem toch over de termen van de rij
\(u_n\)
? Een reeks bevat als termen toch enkel de partieelsommen van de rij waarvan het een reeks voorstelt? Althans zo begrijp ik het toch..

Dankjewel voor het snelle antwoord.
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 11:39

hanzwan

Berichten: 132

Re: Supremum rij

Wat je zegt over reeksen klopt, ik had in het oude topic iets gepost over het supremum van reeksen/rijen en functies maar dit werd gesloten , daarom heb ik het hier overgetypt maar per ongeluk het woord reeks gebruikt. De supremum kan bestaan zowel bij reeksen, rijen en functies. Jouw voorbeeld is inderdaad geen reeks maar rij opeenvolgende termen.

Je idee omtrent de afgeleide is juist.
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 12:20

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Supremum rij

In orde, het is me gelukt het 'correct' antwoord te vinden. Hierop aansluitend mss.: als ik de covergentie bepaal met enkel testen, welke testen zijn dan dominerend ?

Sommige testen geven aan dat de rij/reeks kan convergeren, divergeert, onbepaald is..Wat is dan het (meest) correcte antwoord?

Dankjewel.
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 16:26

hanzwan

Berichten: 132

Re: Supremum rij

Volgens mij had Drieske in het vorige topic al een link geplaatst naar verschillende testen die uitgevoerd kunnen worden. Meestal wordt tijdens introductie cursussen redelijk duidelijk gemaakt welke test het best zal gaan werken. Zo kan ik mij nog herinneren:

-als er LN in zit was de integraal test vaak een goede methode

-als er een faculteit (of soms een combinatorische functie) in zit dan ging een ratio test meestal wel goed

-als het heel erg lijkt op een standaardvorm bijvoorbeeld 1/x^2 maar net ietsje gecompliceerder dan was een comparison-test of p-test of hoe ze het in je cursus ook noemen, meestal een goede.

-Als een hele som of computatie werd vermoeilijkt doordat alles tot een bepaalde macht werd verheven dan was de root-test vaak een handig begin.

Natuurlijk kunnen er afwijkingen zijn en is dit niet altijd een goede indicatie, echter, dit soort trucjes hebben mij tijdens vakken als calculus en analyse redelijk goed geholpen.

Ik hoop dat je hier wat aan hebt.
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 18:13

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Supremum rij

Oh dankjewel, zo'n handige tips staan dus niet in m'n cursus. Enkel de droge wiskundige afleidingen, daar moet je dan maar gevoel mee kweken tijdens het oplossen van oefn. :)

Hoe kan je trouwens een 'functie' afleiden waarin een faculteit voorkomt, simpel vb.:
\( f(x)=\frac{1}{x!}\)
?
Omhoog

Bericht 25-01-'12, 19:13

hanzwan

Berichten: 132

Re: Supremum rij

het limiet van:
\( f(x)=\frac{1}{x!}\)
kan dmv de ratio test zoals in mijn vorige post staat:
\( f(x)=\frac{x!}{(x+1)!} =\frac{1}{x+1}\)
En dan de limiet is natuurlijk 0.

Als je de afgeleide van dit soort functies wilt weten dan zul je eerst moeten weten hoe de faculteit functie benadert wordt.

Sterlings approximatie wordt vaak gebruikt ter vervanging van de faculteit.

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation
Omhoog

Bericht 26-01-'12, 12:16

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Supremum rij

ik heb je link even bekeken, er komt een afleiding in waarin zulke functie's idd. benaderd dmv. maclaurrinreeks. Maar ik was eerder opzoek naar een 'gewone' sluitende formule voor
\(f(x)=\frac{1}{x!} => \frac{df(x)}{dx}\)
, daaruit kan ik dan bv. het supremum voor die rij uit bepalen

Bestaat heir geen 'kant-en-klare' formule voor?

Ik ben wel bezig met machtreeksen en de benadering van functie's, maaf dit gaat toch nog wel ff. boven m'n niveau.

Dankjewel.
Omhoog

Bericht 26-01-'12, 16:42

hanzwan

Berichten: 132

Re: Supremum rij

In het kort: nee.

X! is alleen gedefinieerd voor natuurlijke getallen (1,2,3...N) en niet voor alle reële getallen (1,113, 27.6544 etc)

Eigenlijk berust heel veel zo niet alles van de calculus op axioma die uitgaan/toebehoren tot de verzameling reële getallen en niet alleen natuurlijke getallen. Daarom is er niet zomaar een afgeleide van de faculteit te vinden.

De sterling formule of de gamma formule zijn formules die worden gebruikt. Zo komt de gamma formule overeen met de X! waardes voor alle natuurlijke getallen. Hier kan dan de afgeleide van worden genomen.

Ik denk dus niet dat het in je cursus nodig is om het supremum van bovenstaande functie aan te tonen wanneer de eerder genoemde benaderingen je totaal niet bekend voor komen.

Mvg.
Omhoog

Bericht 26-01-'12, 21:19

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Supremum rij

Nee hoor, dit is idd. absoluut niet het doel dat ik hier kennis van moet/kan tonen. Eerder uit interesse vroeg ik me dit af, had nog nooi stilgestaan/nagedacht over de afgeleide van een faculteit, iets wat me wel intereseert eigenlijk...

Zoals vermeld is dit wiskunde die m'n niveau toch wel overstijgt, dus alat ik het hier maar bij.

Nog één allerlaatste puntje ivm. met machtreeksen, nu ik toch bezig ben:

in m'n cursus leidt men vaak de tayloreeks af van bepaalde functie's. Strategie hierbij is te zoeken naar een combinatie van 'basistaylor-reeksen" bv.
\( f(x)=e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} \)
Simpele vraag: hoe komt men tot deze vgl. ? Ik heb werkelijk geen flauw benul, begrijp wel hoe men vanuit de lokale benaderingsstelling theoretisch een machtreeks van een functie ontwikkelt. maar hoe men dan een exponent herschrijft naar deze reeks is nogal vaag.

Dankjewel.
Omhoog

Bericht 27-01-'12, 10:34

hanzwan

Berichten: 132

Re: Supremum rij

Ik merk dat dit een beetje een van alles en nog wat topic aan het worden is. Ik zal deze vraag beantwoorden maar voor verdere huiswerk/wiskunde vragen raad ik je aan om een nieuw topic te maken.

Het idee van een taylorserie (of McLaurin serie) is om een functie te benaderen/beschrijven gebaseerd op zijn waarde in een punt + een N-tal afgeleides (soms oneindig soms eindig). Als je immers weet waar een functie begint en hoe deze over tijd verandert heb je de functie benadert. Deze functie benadert e^x vanaf het nul punt. Ik neem aan dat je weet hoe een taylorfunctie eruit ziet, waarom er gedeeld wordt door de faculteit en waarom (x-a) gebruikt wordt. Neem nu eens de eerste 4 afgeleides van e^x en voer deze in in de taylorserie dan zul je zien dat dit overeenkomt met bovenstaande opsomming.

Oja, ik weet niet of je cursus toevallig Calculus 1 / Calculus 2 is maar als je calculus 2 hebt gehaald kun je meestal dmv wat hulp/inlezen en motivatie de gamma functie en of sterlings formule wel afleiden.
Omhoog

Bericht 27-01-'12, 10:56

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Supremum rij

Sorry dat ik er onderwerpen bijhaal die in c 'niets' met het onderwerp hebben te maken, maar dacht dit te doen omdat ik anders 10 onderwerpen per dag post bij wijze van spreke. Wil geen lastige klant zijn :) .

Ik heb momenteel calculus 1+ uitbreiding naar calculus 2 (vectorruimten/diff.vgl..), an sich heb ik wel een formularium waarvan ik gebruik mag/kan maken op examen. Men heeft me niet uitgelegd waarvan die exacte reeks juist komt, maar zal je aanwijzigingen (gamme functie ed.) eens goed doornemen indien ik bijkomende iinzicht wil hebben.

Dankjewel voor al je hulp, fantastisch forum!

edit: stom van mij , natuurlijk is dat de reeksontwikkeling voor de exponent; 1ste/2de/n-de.. afgeleide is altijd terug de exponent!
Omhoog

Bericht 27-01-'12, 11:08

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Supremum rij

Sorry dat ik er onderwerpen bijhaal die in c 'niets' met het onderwerp hebben te maken, maar dacht dit te doen omdat ik anders 10 onderwerpen per dag post bij wijze van spreke. Wil geen lastige klant zijn :) .
Maar voor het overzicht van de gebruikers is het net handiger om een topicje meer te openen dan alles in één topic te proppen. Overigens is er ook geen enkel probleem om meerdere topics tegelijk te openen. Zolang je dat binnen de perken houdt én je geen gelijkaardige vragen tegelijk post. Immers kan het dat je tweede probleem meteen is opgelost als je het eerste snapt.

Dan aansluitend bij je vraag over de exponentiële en zijn machtreeks. Veel hangt natuurlijk af van je definitie van e^x... Want de machtreeks is een mogelijke definitie. Niet de enige uiteraard. Je kunt eventueel ook eens hier kijken.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”