Springen naar inhoud

Dimensie su(n)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

fermion

    fermion


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2012 - 11:48

Hoi,

ik moet de dimensie van de Lie algebra van SU(n) berekenen. Ik weet dat deze Lie algebra bestaat uit alle traceless anti-hermitische nxn matrices, en ik dacht dat je dan het aantal onafhankelijke elementen in zo'n matrix moest tellen. Omdat de matrix anti-hermitisch is, weet je element (i,j) toch als je element (j,i) weet. Dus dan tel je alleen de elementen boven de diagonaal, en ook de diagonaal zelf.


LaTeX

En dan nog 1 eraf halen omdat de matrix traceless is. Maar ik weet dat het antwoord n^2-1 is, wat doe ik dan fout?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 januari 2012 - 12:01

Je berekening volg ik niet helemaal (het klopt tot je met je som komt). Laten we het eerst eenvoudiger aanpakken. Kun je de dimensie van SO(n) berekenen? Of U(n)... Eens je U(n) hebt, volgt SU(n) op 123.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

fermion

    fermion


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2012 - 14:42

De Lie-algebra van SO(n) bestaat uit anti-symmetrische nxn matrices, dus de hele diagonaal is dan gewoon 0. De elementen boven die diagonaal vormen dan een (n-1) bij (n-1) driehoek. En ik dacht dan, als je op een van de plekken in die driehoek een 1 neerzet en van de rest allemaal nullen maakt, dan is die matrix onafhankelijk van de matrix die je krijgt als je een andere plek voor de 1 had uitgekozen. Dus het aantal onafhankelijke matrices is dan het aantal plekken in de driehoek, en dat is dan LaTeX . En dat is wel de juiste dimensie van SO(n).
En voor U(n) zou ik zeggen dat je dezelfde som doet alleen dan is de diagonaal niet 0 dus kun je nog n willekeurige imaginaire getallen op de diagonaal zetten, dan krijg je

LaTeX

Maar dat is ook weer niet gelijk aan n^2, wat het zou moeten zijn...

#4

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2012 - 16:10

Bedenk dat het om de reŽle dimensie gaat. Een niet-diagonaal element is in het algemeen complex.

Als dat je onvoldoende helpt, schrijf eens een algemeen element van LaTeX en van LaTeX op. Hoeveel reŽle parameters komen hierin voor?

Veranderd door eendavid, 25 januari 2012 - 16:11


#5

fermion

    fermion


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2012 - 19:50

Elk niet-diagonaal element heeft algemene vorm van a+bi met a en b reŽel. Dit betekent dus dat er per niet-diagonaal element twee onafhankelijke parameters zijn. Uit de som komt dan n(n-1) en voor su(n) tellen we hier n bij op voor de diagonaal (die elementen zijn puur imaginair dus daar is er wel ťťn reŽle parameter) en dan halen we er weer 1 vanaf omdat de matrices traceless zijn. Dit komt uit op LaTeX . Voor u(n) zijn de matrices niet traceless (want de determinant van een element uit U(n) hoeft niet per se 1 te zijn) dus dan kom je uit op LaTeX .

Ik denk dat ik het snap, bedankt voor het antwoord!

#6

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2012 - 21:07

Zo is het, perfect.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures