Springen naar inhoud

Scalair product dmv. integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

hwgxx7

    hwgxx7


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2012 - 11:25

Dag,

ik begrijp de (theoretische) achtergrond van het scalair product. In m'n cursus wordt er volgende gesteld:

Het scalair product van p(x) en q(x) zou kunnen zijn: LaTeX


Waar komt het gebruik van de integraal plots vandaan? Ik heb op Wikipedia gezocht naar het "dot product" ,maar heb niet echt de reden gevonden waarom men bij vectorenfunctie's een integraal gebruikt..

Dankjewel

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 januari 2012 - 12:03

Verdeel je interval (in dit geval [0, 1], maar dat doet er verder niet echt toe) in n gelijke delen. Op de n gelijke delen ga je je functies p en q benaderen (op de gebruikelijke manier). Op die manier verander je je functies p en q eigenlijk in vectoren (zie je dit?). Hierop leg je nu je gebruikelijk dot product (welk?!) en je schaalt nog met een factor 1/n. In de limiet (oneindig kleine intervallen) geeft dit je nu net je integraal.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 januari 2012 - 12:09

Waar komt het gebruik van de integraal plots vandaan? Ik heb op Wikipedia gezocht naar het "dot product" ,maar heb niet echt de reden gevonden waarom men bij vectorenfunctie's een integraal gebruikt..

Of een andere benadering, neem de definitie en regels waaraan een scalair product moet voldoen, en zie dat die integraal een goed scalair product is van die 2 vectoren.
Je kunt functies inderdaad zien als vectoren in een oneindig-dimensionale ruimte. Het kost eventjes tijd om dat te vatten, maar eigenlijk is het een interessant inzicht.
Een functie is niet meer dan een oneindig lange rij getallen, een vector is een eindig lange rij getallen, dus een functie is gewoon een oneindig lange vector.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#4

hwgxx7

    hwgxx7


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2012 - 14:26

Vanuit vectorruimten weet ik idd. dat bv. elke 2de graadfunctie kan worden gevorm dmv. een combinatie van vectoren die in een overeenkomstige basis zitten.

LaTeX
Doordat voor a, b en c elke mogelijke waarde van R kunne worden gekozen kan men zo elke denkbare 2de graadsfunctie vormen. Daar dus goniometrische functie's (sin, cos,...) dmv. machtreeksen kunnen worden benaderd kunnen, kunen deze dus idd. als een verzameling van n-de orde vectoren gezien worden.


Wat betreft dat scalair product, in m'n cursus worden er gewag gemaakt van o.m. LaTeX als definitie voor scalair product, dit is dan voor slecht ťťn vector..

Indien het dan gaat om functie's en dus een optelsom van oneindig aantal vectoren kan hier dan het wiskundig gedrag voor reeksen, en dus partieelsommen worden bijgehaald. in essentie leidt dit dan tot een integraal?

Komt dit/deze inzicht(en), overeen met hegteen julie kennen?

Dankjewel.

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 januari 2012 - 15:13

Komt dit/deze inzicht(en), overeen met hegteen julie kennen?

Ik vrees, afgaande op je uitleg, dat je het verkeerd opvat... Even een vraag. Ik schreef: Op die manier verander je je functies p en q eigenlijk in vectoren (zie je dit?). Zie je het ťn kun je zeggen welke dimensie die vectoren dan krijgen? Dat sluit overigens aan bij wat 317070 al zei ivm oneindigdimensionale ruimte.

Maar uiteraard, als het je toch te 'hoog' gaat, kun je ook gewoon je definitie van inproduct erbij pakken en verifiŽren dat het werkt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

hwgxx7

    hwgxx7


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2012 - 16:05

Kan je me mss. vertellen welke stukjes van mijn opvattingen hierover niet (voldoende) correct zijn ,of is m'n hele verhaal niet sluitend genoeg om het voldoende te bgrijpen ?

Dankjewel.

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 januari 2012 - 10:35

Je kunt misschien eerst eens hier kijken... Daarnaast zou het ook handig zijn als je antwoordt op bovenstaande vragen :). Welke dimensie denk je dat die 'vectoren' hebben?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

hwgxx7

    hwgxx7


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2012 - 14:13

Verdeel je interval (in dit geval [0, 1], maar dat doet er verder niet echt toe) in n gelijke delen. Op de n gelijke delen ga je je functies p en q benaderen (op de gebruikelijke manier). Op die manier verander je je functies p en q eigenlijk in vectoren (zie je dit?). Hierop leg je nu je gebruikelijk dot product (welk?!) en je schaalt nog met een factor 1/n. In de limiet (oneindig kleine intervallen) geeft dit je nu net je integraal.


Veronderstel dat de vectoren p en q in n gelijke stukjes werden verdeeld. Daar de oorspronkelijke functie's p ern q worden benaderd dmv. vectoren moet je een oneindig aantal vectoren hebben om de stukjes p en q in dat punt exact te benaderen.
Dus n maal die benaderinge (dmv. oneindig aantal vectoren) geeft dan de oorspronkelijke functie p of q, dat maakt nu niet zoveel uit. Begrijp ik dit stukje al correct ?

De link die je me gaf: ik alle eerlijkheid kan ik zeggen dat ik reeds hetzelfde principe in m'n hoofd had. Dus op dat punt versta ik wel waar he naartoe moet. Waar kom je trouwens vandaan met al die goed websites?

Dankjewel.

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 januari 2012 - 14:45

Veronderstel dat de vectoren p en q in n gelijke stukjes werden verdeeld.

Ik begrijp niet wat je hiermee bedoelt... Je gaat je functies p en q net benaderen met vectoren. Je verdeelt je interval [0, 1] in n gelijke stukken. Om je functies te benaderen moet je nu nog maar in deze n punten een waarde weten, dus heb je een n-dimensionale vector als benadering van je functies. Deze vectoren heb je nu het dot product voor dat je reeds kent. En vanaf hier gaat het bovenstaande verhaal weer door.

De link die je me gaf: ik alle eerlijkheid kan ik zeggen dat ik reeds hetzelfde principe in m'n hoofd had. Dus op dat punt versta ik wel waar he naartoe moet. Waar kom je trouwens vandaan met al die goed websites?

Okee :). Ik had begrepen dat jij het eerder opvatte als: ax + b is een tweedimensionale vector, ax≤+bx+c een driedimensionale, etc.

En die sites: Google, in het Engels. Daar liggen heel veel goede sites, je moet ze alleen onderscheiden van de zever :). Bij deze was dat gewoon de titel van het artikel: function as vector.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

hwgxx7

    hwgxx7


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2012 - 18:34

Voor de duidelijkheid (dat ik het begrijp): een 3 dimensionale vectorruimte heeft bv. als basis : (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1). Zoals de naam het al doet vermoeden wordt dit dan een vector met 3 dimensies (gewone xyz assenstelsel dus). Dat begrijp ik.

Ik begrijp niet wat je hiermee bedoelt... Je gaat je functies p en q net benaderen met vectoren.


Dat was idd. een fout van mij, ik begrijp dat het de functie zelf is die in een deelintervalletje (volgens n stukjes) wordt benaderd door vectoren (deze geven dan een benaderende functiewaarde). Wat de dimensie van die vectoren zelf betreft, daar heb ik het moelijk mee om een antwoord te geven eigenlijk, daar ik niet de kennis heb om functie's dmv. vectoren te bendaren (dit is geen examenstof an sich..).

Mijn vraagstelling was gewoon in de context van het scalaire product...Is het belangrijk naar wiskunde deelgebieden (oa. diff. ; laplace transformatie; stelsel van vgl.;..)dat je deze kennis hebt. Wil hier gerust over bijleren hoor!

Dankjewel.

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 januari 2012 - 18:43

Ik ben echt niet overtuigd dat je het (echt) begrijpt :). Het gaat over een heel andere manier van naar functies kijken hŤ... In de link die ik je gaf, heb je figuur 2.5. Die grafiek (in het xy-stelsel!) kun je opvatten als een oneindigdimensionale vector(ruimte).

Maar ik kan me echt perfect voorstellen dat dat moeilijk voor te stellen is. De kern van het idee is dit: je gaat je functie benaderen door op te splitsen in deelintervallen. Je benaderende functie wordt dan bepaald door de waarde die het aanneemt in die n punten. Dus kun je dat zien als een n-dimensionale vector. Hierop kun je het dot product toepassen dat je reeds kent. Je neemt nu de limiet. Dan krijg je, als limietproces, je integraal. Vat je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

hwgxx7

    hwgxx7


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 januari 2012 - 15:04

Nee, ik blijk idd. toch vast te lopen bij de voorstelling ervan...Dit is dan wel gevorderde wiskunde neem ik aan? Ik vraag me echter af in welke mate deze materie begrepen moet worden om andere hogere wiskunde (ten volle) te begrijpen?

Ik ga mezelf na de examenperiode hier eens een beetje op toerichten, zoals ik reeds eerder eerder zei is dit stukje geen stof op zich die ik moet beheersen...Al zou ik het wel gaarne begrijpen.

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 januari 2012 - 17:55

Dit is dan wel gevorderde wiskunde neem ik aan? Ik vraag me echter af in welke mate deze materie begrepen moet worden om andere hogere wiskunde (ten volle) te begrijpen?

Tja, dat hangt maar af van wat je met 'hoger' bedoelt hŤ :). Het is nuttig om dit te begrijpen :).

Kun je eventueel in die link van eerder (bericht #7) aangeven waar je tegenaan loopt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

hwgxx7

    hwgxx7


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2012 - 16:35

Wel het idee dat een functie kan beschreven worden dmv. vectoren blijkt toch lastiger te zijn dan ik dacht..

Ik weet dat: alle polynomen (ifv. x) behoren tot de verzameling LaTeX .

Stel een rechte voor die door de oorsprong gaat: LaTeX . Hoe moet ik me dit dan voorstellen?
De link die je eerder gaf kan ik wel een idee over vormen, maar hoe moet ik (practisch) die vectoren die dan de benadering vormen voor de functiewaarde in dat interval waar je benaderd, voorstellen ?
Gewone vectoren, dat begrijp ik. Maar functie benaderen dmv. n-dimensionale vectoren, die vectoren wat houdt dat dan in? Eens ik dit begrijp is de stap naar oa. dat scalaire product dmv. integraal zo gelegd vermoed ik . Ik zou dit zeer graag begrijpen, zoasl je aanhaalde is dit niet onbelangrijk vermoed ik.

Dankjewel voor de hulp!

#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 februari 2012 - 12:22

Om te beginnen: jouw voorbeeld is niet echt een rechte door de oorsprong hŤ :). Maar dat doet er verder niet toe.

Ik zal het je algemener proberen uit te leggen. Neem gewoon een functie f op het interval [a, b]. Voor de eenvoud neem ik even aan dat je functie in elk punt van dat interval gedefinieerd is en (minstens stuksgewijs) continu. We delen het interval op in n gelijke delen (hoe je zoiets doet, is je duidelijk?); noem de eindpunten van deze delen a0 (=a), a1, ..., an (=b). Op elk van deze delen gaan we onze functie f benaderen op de eenvoudige manier (met trapfuncties bijvoorbeeld). Om deze eenvoudige benadering van je functie te kennen, volstaat het om de waarde van je benadering te kennen in de punten a0, ..., an. Akkoord? Dit doe je door op deze punten de waarden te nemen die f aanneemt in deze punten, dus f(a0), ..., f(an) legt je benadering vast. Dit is exact wat een vector ook doet! Om een vector te kunnen maken, moet je gewoon al zijn componenten kennen. Dus je benaderende functie is een vector op deze manier: (f(a0), ..., f(an)). Want met deze waarden kun je je heel je benaderende functie reconstrueren. Nu kun je deze benaderingen nauwkeuriger en nauwkeuriger maken door n steeds te laten toenemen. Zo krijg je een steeds langere (grotere) vector (want de lengte van je vector hangt af van n). In de limiet is dit een oneindig lange vector geworden. Zie je dit? Kan ik je die vector expliciet geven? Neen. Want er zijn geen twee opeenvolgende getallen bij de reŽle getallen (daarom is het een limietproces). Het is dus meer een denkwijze dan iets wat je expliciet gaat doen. Het voordeel ervan is gewoon dat het je kan helpen bij onder meer het begrijpen van 'waarom kan ik een dot product definiŽren voor de functies? En waarom is dit een logische keuze?'.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures